泗水一中2013—2014学年高二11月质量检测

数学（理）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知F1、F2是椭圆
+
=1的两焦点，经点F2的的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于( )A．2 B．10 C．9 D．162．设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z＝2x＋y的最小值为(　　)

A．2 B．3 C．5 D．7

3．如果实数x,y满足等式(x－2)2+y2=3，那么
的最大值是( )A．
B．
C．
D．
4．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有(　　)

A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4

5．已知
、
均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜
＋3
|=(　　)A．
　 　B
　　 　C．
D．46. 圆
和圆
的位置关系是（ ）

A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离

7.已知
，
分别在轴和轴上滑动，
为坐标原点，
，

则动点的轨迹方程是( )

A.
B.
C.
D.

8.数列
满足
（
且
），则“
”是“数列
成等差数列”的 ( )

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

9.直线
与曲线
的交点的个数

A.1 B.2 C.3 D.4

10．已知{an}是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是( )A．4 B．5 C．6 D．711．过
的焦点作直线交抛物线与
两点，若
与
的长分别是
，则
( )A．
B.
C.
D.
12.为椭圆
上一点，
分别是圆
和
上的点，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13. 直线
与直线
的距离是_________.

14. 已知椭圆的焦点是
，点在椭圆上

且满足
，则椭圆的标准方程是 .

15. 方程
表示圆，

则的取值范围是__________.

16. 若点
在直线
上运动，

则
的最小值为_________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．(本小题满分10分)

已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过M点的圆的切线方程；

(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．

18.(本小题满分124分)

已知直线
：
，直线
：
，其中，
．

（1）求直线
的概率；

（2）求直线
与
的交点位于第一象限的概率．

19．(本小题满分12分

)已知长方形ABCD, AB=2
,BC=1．以AB的中点
为原点建立如图8所示的平面直角坐标系
．

(1)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;

(2)过点P(0,2)的直线
交(1)中椭圆于M,N两点,是否存在直线
,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由．

20．(本小题满分12分)

已知函数
是定义在上的偶函数，且
时，
.

(1)求
的值；

(2)求函数
的值域；

(3)设函数
的定义域

为集合，若
，求实数的取值范围.　

21. （本小题满分12分）

已知数列
的各项均为正数，其前项和为
，且
.

（1）求数列
的通项公式

（2）设
，
，求
.

22.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，
为坐标原点，动点与两个定点
的距离之比为
.

（1）求动点的轨迹
的方程；

（2）若直线
与曲线
交于
两点，在曲线
上是否存在一点
，使得
.若存在，求出此时直线
的斜率；若不存在，说明理由.

参考答案:

1-5 ABDCC 6-10 AAACB 11-12CD

13．
14．
15．
16．

17． (1)圆心C(1,2)，半径r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.

由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切．

当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.

由题意知＝2，解得k＝.

∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.

(2)由题意，有＝2，解得a＝0，或a＝.

18.（1）解：直线
的斜率
，直线
的斜率
．

设事件为“直线
”．

，
的总事件数为
，
，…，
，
，
，…，
，…，
，
共36种．

若
，则
，即
，即
．

满足条件的实数对
有
、
、
共三种情形．

所以
．答：直线
的概率为
．

（2）解：设事件为“直线
与
的交点位于第一象限”，

由于直线
与
有交点，则
．

联立方程组
解得

因为直线
与
的交点位于第一象限，则

即
解得
．

的总事件数为
，
，…，
，
，
，…，
，…，
，
共36种．满足条件的实数对
有
、
、
、
、
、
共六种．

所以
．答：直线
与
的交点位于第一象限的概率为
．

19.(1)由题意可得点A,B,C的坐标分别为
．

设椭圆的标准方程是
．

　
．　椭圆的标准方程是

(2)由题意直线的斜率存在,可设直线
的方程为
．

设M,N两点的坐标分别为

联立方程:
消去整理得,

有

若以MN为直径的圆恰好过原点,则
,所以
,

所以,
, 即

所以,
，即
得

所以直线
的方程为
,或
．

所以存在过P(0,2)的直线
:
使得以弦MN为直径的圆恰好过原点．

20． (1)函数
是定义在上的偶函数

又
时，

(2)由函数
是定义在上的偶函数，可得函数
的值域即为
时，
的取值范围.

当
时，

故函数
的值域=

(3)

定义域

方法一 ：由
得

，

即

且

实数的取值范围是

方法二：设

当且仅当

即

实数的取值范围是

21.（1）证明：

时，
.

.

由
，得
，

数列
是以1为首项，1为公差的等差数列

（2）
，

，…………………①

…………②

由①－②得

.

22. （1）设点的坐标为
，由题意知
，

即
，即
.

（2）因为直线
与曲线
相交于
两点，

所以圆心
到直线
的距离
，即
或
式①.

假设曲线
上存在点
，使得
.

因为
在圆上，所以
，且
，

由向量加法的平行四边形法则可知四边形
为菱形，

所以
与
互相垂直且平分.故圆心
到直线
的距离
.

即
，解得
，符合式①.

所以存在点
，使得