惠州市2013-2014学年第一学期期末考试

高二数学（理科）试题

说明：1、全卷满分150分，时间120分钟。

2、答卷前，考生将自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号，填写在答题卷上。

3、考试结束后，考生将答题卷交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1．椭圆
的焦距等于（ ）

A．20 B．16 C．12 D．8

2．某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是（ ）

A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法

3．空间中，与向量
同向共线的单位向量
为（ ）

A．
B．
或

C．
D．
或

4.已知点
是抛物线
的焦点，点
在该抛物线上，且点
的横坐标是
，

则
=（ ）．

A．2 B．3 C．4 D．5

5.已知事件
与事件
发生的概率分别为
、
，有下列命题：

①若
为必然事件，则
． ②若
与
互斥，则
．

③若
与
互斥，则
．

其中真命题有（ ）个

A．0 B．1 C．2 D．3

6．“
”是“方程
表示的曲线为抛物线”的（ ）条件。

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

7．执行右边的程序框图，如果输入
，

那么输出
( )．

A．2 B．3 C．4 D．5

8．已知椭圆

，左右焦点分别为
，
，过
的直线交椭圆于
两点，若
的最大值为8，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：(本大题共6题，每小题5分，共30分．请将答案填写在答卷相应位置上．)

9．双曲线
的渐近线方程为 ．

10.样本
，
，
，
，
的方差为 ．

11.已知
，
，若
，则
的值为 ．

12.命题“
”的否定是 ．

13.某城市近10年居民的年收入
与支出
之间的关系大致符合
（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元．

14.如图，在棱长为2的正方体
内（含正方体表面）任取一点
，

则
的概率
．

三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15．（本小题满分12分）

某社团组织20名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动，志愿者中，年龄在20至40岁的有12人，年龄大于40岁的有8人．

（1）在志愿者中用分层抽样方法随机抽取5名，年龄大于40岁的应该抽取几名?

（2）上述抽取的5名志愿者中任取2名，求取出的2人中恰有1人年龄大于40岁的概率．

16．（本小题满分12分）

已知
，
，点
的坐标为
．

（1）求当
时，点
满足
的概率；

（2）求当
时，点
满足
的概率．

17．（本小题满分14分）

设命题
：实数
满足
，其中
；

命题
：实数
满足
；

（1）若
，且
为真，求实数
的取值范围；

（2）若
是
成立的必要不充分条件，求实数
的取值范围．

18．（本小题满分14分）

已知椭圆

的离心率为
，直线
与圆
相切．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设直线
与椭圆
的交点为
，求弦长
．

19．（本小题满分14分）

如图，已知正方体
棱长为2，
、
、
分别是
、
和
的中点．

（1）证明：
面
；

（2）求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分14分）

已知动直线
与椭圆

交于

、

两不同点，且△
的面积
=
，其中
为坐标原点．

（1）证明
和
均为定值；

（2）设线段
的中点为
，求
的最大值；

（3）椭圆
上是否存在点
，使得
？

若存在，判断△
的形状；若不存在，请说明理由．

惠州市2013-2014学年第一学期期末考试

高二数学（理科）试题答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

C

C

B

C

A

B

D



1．【解析】由
，所以焦距为16.∴选B．

2．【解析】因为间隔相同，所以是系统抽样法，∴选C．

3．【解析】
，∴
，∴选C．

4．【解析】抛物线
知
，
，∴选B．

5．【解析】由概率的性质知①③为真命题，∴选C．

6．【解析】当且仅当
时，方程
表示的曲线为抛物线，∴选A．

7．【解析】
，进入循环后各参数对应值变化如下表：

15

20

结束





5

25







2

3





∴选B．

8．【解析】∵|AF1|+|AF2|=6，|BF1|+|BF2|=6，∴△AF2B的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=12；

若|AB|最小时，|BF2|+|AF2|的最大，又当AB⊥x轴时，|AB|最小，

此时|AB|=
，故
．∴选D．

二、填空题：(本大题共6题，每小题5分，共30分．)

9.
10.2 11.6 12.
13.18.2 14.

9．【解析】
的渐近线方程为
．

10．【解析】
．

11．【解析】



．

12．【解析】全称命题的否定为特称命题．

13．【解析】
．

14．【解析】以
为原点
为
轴建立空间直角坐标系，则
,

设
，则
,则
，

从而
．

三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15．（本小题满分12分）

解：(1)若在志愿者中随机抽取5名，则抽取比例为
………………………2分

∴年龄大于40岁的应该抽取
人. ……………………………4分

(2)上述抽取的5名志愿者中，年龄在20至40岁的有3人，记为1,2,3

年龄大于40岁的有2人，记为4,5，……………………………………………6分

从中任取2名，所有可能的基本事件为：

，共10种，…8分

其中恰有1人年龄大于40岁的事件有

，共6种，………………………………10分

∴恰有1人年龄大于40岁的概率
.…………………………………12分

16．（本小题满分12分）

解：（1）点P所在的区域为正方形ABCD的内部（含边界），……………（1分）

满足
的点的区域为以
为圆心，

2为半径的圆面（含边界）． ……………………（3分）

所求的概率
． …………………………（5分）

（2）满足
，且
，
的整点有25个 …………（8分）

满足
，且
的整点有6个，……………（11分）

所求的概率
． ………………………………（12分）

17．（本小题满分14分）

解　(1)由
得
.……………………………1分

又
，所以
，………2分

当
时，
，即
为真命题时，实数
的取值范围是
……4分

由
得
.

所以
为真时实数
的取值范围是
.…………………………………6分

若
为真，则
，所以实数
的取值范围是
．……………8分

(2) 设
，
…………………………………10分

是
的充分不必要条件，则
…………………………………………12分

所以
，所以实数a的取值范围是
．………14分

18．（本小题满分12分）

解：（1）又由直线
与圆
相切得
，…2分

由
得
，………………………………… 4分

∴椭圆方程为
…………………………………………………6分

（2）

…………8分

，设交点
坐标分别为
………9分

则
…………………………………………………11分

从而

所以弦长
…………………………………………………………14分

19．（本小题满分14分）

解：以
为原点建立如图空间直角坐标系，正方体棱长为2，

则D(0，0，0)、E(0，2，1)、F(1，2，0) 、

G(0，1，0) 、A1 (2，0，2) 、C(0，2，0)，…… 2分

(1)则
，
，

………………………… 3分

∵

，

∴
………………………… 4分

∵

，

∴
………………………… 5分

又
，
，
……………… 6分

∴
面
…………………………………………………………7分

(2)由(1)知
为面
的法向量，………………………… 8分

∵
面
，
为面
的法向量，……………… 9分

设
与
夹角为
，则


……… 12分

由图可知二面角
的平面角为
，

∴二面角
的余弦值为
．…………………………………… 14分

20．（本小题满分14分）

解：（1）当直线
的斜率不存在时，P，Q两点关于
轴对称，所以

因为