中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试

数学试卷（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．“
且
”是“
”的（ ）.

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．焦点在x轴上的双曲线，实轴长6，焦距长10，则双曲线的标准方程是（ ）.

A．
B．

C．
D．

3．曲线
在点
处的切线倾斜角为（ ）.

A．
B．
C．
D．

4．如果函数y=ax2+bx+a的图像与x轴有两个交点，则点（a,b）在aOb平面上的区域为（注：下列各选项的区域均不含边界，也不含y轴）（　　）.

A B C D

5．海上有
两个小岛相距
km，从
岛望
岛和
岛所成的视角为
，从
岛望
岛和
岛所成的视角为
，则
岛和
岛之间的距离
=（ ）km．

A．10 B．
C．20 D．

6．已知
且
成等比数列，则
有（ ）.

A．最大值
B．最大值
C．最小值
D．最小
值

7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（　　）.

A．4 km B．5 km C．6 km D．7 km

8．方程
与
在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）.

A B C D

9．椭圆
的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则
到F2 的距离为（ ）.

A．
B．
C．
D．4

10．某同学对教材《选修1-1》上所研究函数
的性质进行变式研究，并结合TI-Nspire图形计算器作图进行直观验证（如右图所示），根据你所学的知识，指出下列错误的结论是（ ）.

A．
的极大值为

B．
的极小值为

C.
的单调递减区间为

D.
在区间
上的最大值为

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）

11．在等差数列
中，若
，则数列
的前9项的和为 .

12. 若命题“
，
”是真命题，则实数a的取值范围为 .

13．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于 ．

14．在△ABC中，有等式：① asinA=bsinB；② bsinC=csinB；③ acosB=bcosA；

④
. 其中恒成立的等式序号为________.

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

15．（13分）已知函数y=x3－3x2.

（1）求函数的极小值；

（2）求函数的递增区间.

16．（13分） 如图，在树丛中为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C. 并测量得到图中的一些数据，此外，
.

（1）求
的面积；

（2）求A、B两点之间的距离.

17．（13分）已知等差数列
的公差
，前
项和为
.

（1）若
成等比数列，求
；

（2）若
，求
的取值范围.

18．（13分）人们生活水平的提高，越来越注重科学饮食. 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪. 1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物A和食物B多少kg？

19．（14分）已知函数
.

（1）求
的最小值；

（2）若曲线
在点
)处与直线
相切，求
与
的值.

20．（14分）已知直线
与抛物线
交于
、
两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点
.如右图所示.

（1）求抛物线C的焦点坐标；

（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；

（3）过抛物线
的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由.

中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试

高二数学试卷（文科）答案

一、选择题：ADACB CBACD

二、填空题：11. 162； 12.
； 13. 8； 14. ②④.

三、解答题：

15. 解：（1） ∵ y=x3－3x2， ∴
=3x2－6x
，……………………………（3分）

当
时，
；当
时，
. …………………………………（6分）

∴ 当x=2时，函数有极小值-4. …………………………………………………（8分）

（2）由
=3x2-6x >0，解得x<0或x>2， …………………………………………（11分）

∴ 递增区间是
，
. ………………………………………………（13分）

16. 解：（1）
中，
. ………………………………（2分）

中，
. ………………………………………………（4分）

∴
的面积为

. ………………（6分）

（2）
中，

……………（9分）

=

=
………………………………………………（11分）

=

=
. ……………………………………………………………………（13分）

17. 解：（1）因为数列
的公差
，且
成等比数列，

所以
， …………………………………………（3分）

即
，解得
或
. ………………………………………（6分）

（2）因为数列
的公差
，且
,

所以
， …………………………………………（9分）

即
，解得
. ………………………………（13分）

18. 解：设每天食用
kg食物A，
kg食物B，总花费为
元，则目标函数为
，且
满足约束条件

， ………（3分）

整理为
， ………（5分）

作出约束条件所表示的可行域，

如右图所示. ………………（7分）

将目标函数
变形为

. 如图，作直线
，当直线
平移经过可行域，在过点M处时，
轴上截距
最小，即此时
有最小值. ………………………………（9分）

解方程组
，得点M的坐标为
. ……………………（12分）

∴ 每天需要同时食用食物A约
kg，食物B约
kg. ……………………（13分）

19. 解：（1）由
，得
. …………………（2分）

令
，得
. ………………………………………………………………（4分）

与
随x的变化情况如下:

……………………………………………………（6分）

所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
是
的最小值. ……………………………………………………………………………………（7分）

（2）因为曲线
在点
处与直线
相切，

所以
，
， ……………………………………（10分）

解得
，
. ……………………………………………………………（14分）

20. 解：（1）抛物线
的方程化为
，所以
，
. ………（2分）

∴ 抛物线C的焦点坐标为
. ……………………………………………………（4分）

（2）联立方程组
，解得点A坐标为
. ………………………………（6分）

联立方程组
，解得点B坐标为
. ……………………………………（7分）

所以直线AB的方程为
， ……………………………………（8分）

令
，解得
. ∴ 点M的坐标为
. …………………………………（9分）

（3）结论：过抛物线
的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB恒过定点
. ………………………………………（10分）

证明如下：

设过抛物线
的顶点的一条直线为
（
），则另一条为

联立方程组
，解得点A坐标为
. ………………………………（11分）

联立方程组
，解得点B坐标为
. ………………………………（12分）

所以直线AB的方程为
， ………………………………（13分）

令
，解得
. ∴ 直线AB恒过定点
. ………………………………（14分）