中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试

数学试卷（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．“
且
”是“
”的（ ）.

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．焦点在y轴上的双曲线，实轴长6，焦距长10，则双曲线的标准方程是（ ）.

A．
B．

C．
D．

3．如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a,b）在aOb平面上的区域为（注：下列各选项的区域均不含边界，也不含y轴）（　　）.

A B C D

4．已知
且
成等比数列，则
有（ ）.

A．最大值
B．最小值
C．最大值
D．最小
值

5．设有一个质点位于A(1，1，–2)处, 在力
=(2, 2, 2
) 的作用下，该质点由A位移到
时，力
所作的功（
）的大小为（ ）.

A．16 B．14 C．12 D．10

6．方程
与
在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）.

A B C D

7．某同学对教材《选修2-2》上所研究函数
的性质进行变式研究，并结合TI-Nspire图形计算器作图进行直观验证（如右图所示），根据你所学的知识，指出下列错误的结论是（ ）.

A．
的极大值为

B．
的极小值为

C.
的单调递减区间为

D.
在区间
上的最大值为

8．
是以
为焦点的椭圆上一点，过焦点
作
外角平分线的垂线，垂足为
，则点
的轨迹是（ ）.

A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．双曲线的一支

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上）

9．在等差数列
中，若
，则数列
的前9项的和为 .

10．若命题“
，
”是假命题，则实数a的取值范围为 .

11．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于 ．

12．在△ABC中，有等式：① asinA=bsinB；② bsinC=csinB；③ acosB=bcosA；

④
. 其中恒成立的等式序号为________.

13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站 km.

14．已知下列命题：

① 若A、B、C、D是空间任意四点，则有
+
+
+
=
；

②
是
、
共线的充要条件；

③ 若
是空间三向量，则
；

④ 对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若
=x
+y
+z
（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面.

其中不正确的命题的序号是 .

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

15．（13分） 如图，在树丛中为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C. 并测量得到图中的一些数据，此外，
.

（1）求
的面积；

（2）求A、B两点之间的距离.

16．（13分）已知等差数列
的公差
，前
项和为
.

（1）若
成等比数列，求
；

（2）若
，求
的取值范围.

17．（13分）人们生活水平的提高，越来越注重科学饮食. 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪. 1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物A和食物B多少kg？最低花费是多少？

18. （13分）如图，已知三棱锥
的侧棱
两两垂直，且
，
，
是
的中点．

（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.

19. （14分）已知直线
与抛物线
交于
、
两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点
. 如右图所示.

（1）求抛物线C的焦点坐标；

（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；

（3）过抛物线
的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由.

20．（14分）已知函数
.

（1）求
的最小值；

（2）若曲线
在点
)处与直线
相切，求
与
的值.

（3）若曲线
与直线
有两个不同的交点，求
的取值范围.

中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试

数学试卷（理科）答案

一、选择题：ADCB BADB

二、填空题：9．162； 10．
； 11．8； 12．②④； 13．5； 14．②④.

三、解答题：

15．解：（1）
中，
. ………………………………（2分）

中，
. ………………………………（4分）

的面积为

. ………（6分）

（2）
中，

………（9分）

=

=
…………………………………（11分）

=

=
. ……………………………………………………（13分）

16．解：（1）因为数列
的公差
，且
成等比数列，

所以
， ………………………………（3分）

即
，解得
或
. ……………………………（6分）

（2）因为数列
的公差
，且
,

所以
， ………………………………（9分）

即
，解得
. ………………………（13分）

17．解：设每天食用
kg食物A，
kg食物B，总花费为
元，则目标函数为
，且
满足约束条件

， …………………………………………………………（3分）

整理为
，……（5分）

作出约束条件所表示的可行域，

如右图所示. ………（7分）

将目标函数
变形为
. 如图，作直线
，当直线
平移经过可行域，在过点M处时，
轴上截距
最小，即此时
有最小值. ……（9分）

解方程组
，得点M的坐标为
. …………………………………………………………………（11分）

∴
……………………………………………（12分）

∴ 每天需要同时食用食物A约
kg （或0.143 kg），食物B约
kg（或0.571 kg），能够满足日常饮食要求，且花费最低16元. ………………………………………（13分）

18. 解：（1）以
为原点,
、
、
分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系.

则有
、
、
、
……………………（2分）

………（4分）

<
>
………………………（6分）

所以异面直线
与
所成角的余弦为
. ……………（7分）

（2）设平面
的法向量为
则

由

由
……………………………………（9分）

取
， …………………………………………（10分）

<
>
， …………………………………（12分）

所以直线
与平面
所成角的正弦值为
. …………………（13分）

19．解：（1）抛物线
的方程化为
，所以
，
. ………（2分）

∴ 抛物线C的焦点坐标为
. ………………………………………（4分）

（2）联立方程组
，解得点A坐标为
. ……………………（6分）

联立方程组
，解得点B坐标为
. ……………………（7分）

所以直线AB的方程为
， ……………………（8分）

令
，解得
.

∴ 点M的坐标为
. ……………………………………………（9分）

（3）结论：过抛物线
的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB恒过定点
. ……………………………（10分）

证明如下：

设过抛物线
的顶点的一条直线为
（
），则另一条为

联立方程组
，解得点A坐标为
. …………………………（11分）

联立方程组
，解得点B坐标为
. ……………………………（12分）

所以直线AB的方程为
， …………………………（13分）

令
，解得
.

∴ 直线AB恒过定点
. ………………………………………………………（14分）

20. 解：（1）由
，得
. …………………（1分）

令
，得
. ………………………………………………（2分）

与
随x的变化情况如下:

……………………………………………………（4分）

所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
是
的最小值. ………………………………………………………（5分）

（2）因为曲线
在点
处与直线
相切，

所以
，
， ……………………………（7分）

解得
，
. ………………………………………………（9分）

（3）当
时，曲线
与直线
最多只有一个交点；

当