南昌二中2013—2014学年度上学期第二次考试

高二数学(理)试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1． “执果索因”是下列哪种证明方法的特点（ ）

A．数学归纳法 B．反证法 C．分析法 D．综合法

2．若直线
与直线
平行，则实数=（ ）

A．
B． 2 C．
D．
或2

3．在下列结论中，正确的结论为（ ）

①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件

②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件

③“p或q”为真是“
”为假的必要不充分条件

④“
”为真是“p且q”为假的必要不充分条件

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

4．焦点为
，且与双曲线
有相同的渐近线的双曲线方程为( )

A．
B．
C．
D．

5．在极坐标系中，点
到直线
的距离为（ ）

A．
B．2 C．
D．1

6．若关于的方程
有两个不同的实数解，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．对任意实数，不等式
恒成立的一个充分不必要条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．过椭圆
的左焦点
作轴的垂线交椭圆于点,
为右焦点,若
,则椭圆的离心率为( ).

A.
B.
C.
D.

9．如图，过抛物线
焦点的直线依次交抛物线与圆

于A、B、C、D四点，则
（ ）

A．4 B．2 C．1 D．

10．如图，液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是（ ）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．对于命题
,使得
,则
:________________;

12．如果椭圆
的弦被点(2，2)平分，则这条弦所在的直线方程是______________;

13.直线l的参数方程为
（为参数）.圆C的参数方程为
（
为参数），则直线l被圆C截得的弦长为 ;

14．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列
，若
，则=____.

15．以下命题中：

①.“直线
与曲线C相切”是“直线
与曲线C只有一个公共点”的充要条件；

②.“若两直线
，则它们的斜率之积等于
”的逆命题；

③.“在平面内，到定点
的距离与到定直线
的距离相等的点的轨迹是抛物线”的逆否命题；

④.“曲线C上的点的坐标都是方程
的解”是“
是曲线C的方程”的必要不充分条件。

其中真命题的序号为 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）

已知直线
过点P（－1,2），

（1）若
的纵截距是其横截距的一半，求直线
的一般式方程；

（2）若
的倾斜角是直线y=
x+
的倾斜角的一半，求直线
的一般式方程。

17．（本小题满分12分）

设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，

求p的值及圆F的方程。

18．（本小题满分12分）

（1）已知
，
，求证：
；

（2）是否存在两两不同的实数、
、，使平面直角坐标系中三条直线
，
，
共点？如果存在，求出、
、的值，如果不存在，请说明理由。

19．（本小题满分12分）

已知双曲线
的左、右顶点分别为M、N，点P是双曲线上异于M、N的任意一点。

（1）记直线PM、PN的斜率分别为
、
，求证：
为定值；

（2）若点P是双曲线上位于第一象限的点，且
，求
。

（3）类比到椭圆
，M、N为其左、右顶点，点P是椭圆上异于M、N的任意一点。
还是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由。

20．（本小题满分13分）

已知椭圆C：
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

(1).求椭圆C的方程；

(2).若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），当
时，求实数的取值范围．

21．（本小题满分14分）

在数列
、
中,已知
,
,且
、
、
成等比数列,
、
、
成等差数列,(
)

（1）求
、
、
及
、
、
,由此猜想
、
的通项公式,

（2）用数学归纳法证明你的猜想;

（3）证明:
.

南昌二中2013—2014上学期高二年级第二次考试

数学参考答案（理科）

一、选择题（每小题5分，共50分）

CDBAD DBACB

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．
12．

13． 3 14． 1029 15．②④

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．解：（1）当直线
过原点时，
的方程为
，

当
不过原点时，设其方程为
，又∵
过点P（－1,2），∴
，解得
，此时
的方程为
。

综上，直线
的方程为
或
。……………6分

（2）设直线
的倾斜角为，依题意知
，即
，

解得
或
，

故直线
的方程为
或
。……………12分

17．解：由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，

圆F的半径|FA|＝p. ……………3分

由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p. ……………6分

因为△ABD的面积为4，所以|BD|·d＝4，即·2p·p＝4，

解得p＝－2(舍去)，p＝2. …………10分

所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8. ……………12分

18．（1）证明：∵
……………①

……………②

①+②得

（也可构造几何图形）……………6分

（2）不存在

反证法：假设存在，设三条直线交于点
，则

…………①

…………②

…………③

不妨设
，
，则由等式①、③得
；

由式②、③得
，所以
。

从而
，矛盾。……………12分

19．解：

（1）由题知
，
，设
，由于P在双曲线上，故
。

所以
。………3分

（2）设
，则
，

则
，
，

由（1）可知，
，即
，

∴
，所以
。

又∵
，∴
，
，

从而
。………8分

（3）由题知
，
，设
，

由于P在椭圆上，故
。

所以
。………12分

20．解：

（1）由
，得
。

由圆与直线
相切，得
，所以
，
。

故椭圆方程为
。………………3分

（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为
，

由
得
，

由
得
………………5分

设
，
，
，则

，

∵
，∴
，

解得
，

。

∵点P在椭圆上，∴
，

∴
.………………………8分

∵
，∴
，

∴
，

∴
，

∴
，∴
……………………11分

∴
，

∵
，∴
，

∴
或
，

∴实数取值范围为
.……………13分

21.解（1）.由已知
、
、
成等比数列,
、
、
成等差数列,(
)

,
,
,
,代入计算得:

,
,
,

,
,
, ………………3分

由此猜想
,

,………………4分

（2）证明:①当
,由上面计算知猜想的结论成立;

②假设当

时结论成立,

即
,
,

则当
时,

由于
,

当
时,结论
成立 ………………7分

又

当
时,
也成立

由①②所证可知对任意的自然数
,

结论
,
都成立………………9分

（3）.因为
………………10分

当
时,由

………………12分

证毕………………14分