南昌二中2013—2014上学期高二年级第二次月考

数学试卷 ( 文科 )

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．直线
x－y+1=0的倾斜角为（ ）

A．150o B．120o C．60o D．30o

2．若
的值为（ ）

A．1 B．－1 C．1或－1 D．
或－

3．对抛物线
，下列描述正确的是( )

A．开口向上，焦点为
B．开口向右，焦点为

C．开口向右，焦点为
D．开口向上，焦点为

4． “
”是“
”成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知直线
与曲线
在点P（1，1）处的切线互相垂直，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．焦点为
，且与双曲线
有相同的渐近线的双曲线方程为( )

A．
B．
C．
D．

7．若直线
与曲线
有两个不同的公共点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．过椭圆
的左焦点
作轴的垂线交椭圆于点,
为右焦点,若
,则椭圆的离心率为( ).

A.
B.
C.
D.

9．设函数
在R上的导函数为
，若
恒成立，下列说法正确的是（ ）

A．函数
有最小值0 B．函数
有最大值0

C．函数
在R上是增函数 D．函数
在R上是减函数

10．函数
的部分图像可能是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．对于命题
,使得
,则
:_________________

12．函数
的极大值为___________；

13．如果椭圆
的弦被点(2，2)平分，则这条弦所在的直线方程是______________。

14．做一个容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为 分米时，材料最省。

15．以下四个命题中：

①“直线
与曲线C相切”是“直线
与曲线C只有一个公共点”的充要条件；

②“若两直线
，则它们的斜率之积等于
”的逆命题；

③
是R上的可导函数，“若
，则
是R上的单调递增函数”的否命题；

④“
”是“
是
的极值点”的必要不充分条件．

其中真命题的序号为 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）

如果曲线
的切线斜率为4,求切点坐标和切线方程.

17．（本小题满分12分）

设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程。

18．（本小题满分12分）

函数
,

（1）求
的单调区间和极值，

（2）讨论方程
=a的实根个数。

19．（本小题满分12分）

命题P：函数
在区间
内存在极值；

命题q：
表示焦点在轴上的双曲线。

已知命题P或q为真命题，命题P且q为假命题，求实数的取值范围。

20．已知椭圆
的两个焦点分别为
，
.点
与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

（1）求椭圆
的方程；

（2）已知点
的坐标为
，点的坐标为
.过点
任作直线
与椭圆
相交于，两点，设直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，若
，试求
满足的关系式.

21．已知函数

（1）当
时，求
的单调区间；

（2）若
上的最小值为1，求实数a的值；（其中e为自然对数的底数）

（3）若
上恒成立，求实数a的取值范围。

南昌二中2013—2014上学期高二年级第二次月考

数学参考答案（文科）

一、选择题（每小题5分，共50分）

CCDAC ABABD

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．
12． 125

13．
14． 4 15．②

三、解答题

16．设切点
,由
有
,∴
.

当
时,切点
,切线方程为
.

当
时,切点
,切线方程为
.

17．解：由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p. ……………3分

由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p. ……………6分

因为△ABD的面积为4，所以|BD|·d＝4，即·2p·p＝4，

解得p＝－2(舍去)，p＝2. …………10分

所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8. ……………12分

18．解：（1）
，

∴
，∴

列表如下

x



-1

（-1,3）

3

（3,+∞）





+

0

_

0

+



y

↗

极大值

↘

极小值

↗




的增区间为
，（3,+∞），
的减区间为（-1,3）

的极大值为
，
的极小值为

（2）由（1）可作出
的图象（略），

方程
=a的实根个数即
的图象与直线的交点个数，

结合图象可知；

①a﹤-8或a﹥
时，有一个交点，方程有一个实根；

②a﹦-8或a=
时，有两个交点，方程有两个实根；

③-8﹤a﹤
时，有三个交点，方程有三个实根；

19．解：

若命题P为真，∵
，当
在区间
内存在极值，则
，解得
或
。……3分

若命题q为真，方程
可化为
，

则由
解得
。……………6分

由题意可知命题P、q必然一真一假。……………7分

当P真q假时，则
，解得
或
；………9分

当P假q真时，则
，解得
；……………11分

综上所述，实数的取值范围为
。……12分

20．解: （Ⅰ）依题意，
，
，所以
.

故椭圆
的方程为
. ……………3分

（Ⅱ）①当直线
的斜率不存在时，由
解得
.

因为
，又
，所以
，

所以
的关系式为
，即
. ………6分

②当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
.

将
代入
整理化简得，
.

设
，
，则
,
. ………8分

又
，
.

所以

………11分

所以
，所以
，即
的关系式为
.

综上所述，
的关系式为
. ………13分

21．解：（1）
…………2分

………………3分

上单调递增 …………4分

（2）

满足题意 ………………6分

（舍去） ………………8分

当
，由（1）知
上单调递减，在
上单调递增，故
（舍去）

综上所述，
………………9

（3）

上恒成立………11分

令
,
,

令
，
………………13分

所以
………………14分