吉林省实验中学2013-2014学年度高二上学期模块测试（二）

数学文试题

第Ⅰ卷（选择题）

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某学校高二年级共有学生240人，为调查该年级学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种方式是由年级学生会的同学随机对本年级24名同学进行调查；第二种方式是由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，把编号的末位数字为3的同学作为调查对象，则这两种抽样方式依次为

A.分层抽样,简单随机抽样 B.简单随机抽样,分层抽样

C.分层抽样,系统抽样 D.简单随机抽样, 系统抽样

2.双曲线
的渐近线方程为

A.
B.
C.
D.

3下列命题正确的是

A．若
，则
B．若
，
，则

C．若
，则
D．若
，
，则

4.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为

A.30 B.25 C.20 D.15

5.已知点F1、F2是两个定点，若p:动点M到两个定点F1、F2的距离之和为一个正常数，q：动点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆, 则p 是q 的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.某一路口的红绿灯是这样设置的：绿灯亮40秒后，黄灯亮5秒，然后红灯亮30秒，那么一辆车到达这个路口时，遇到红灯的概率为

A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6

7.下列说法中正确的是

A．“
”是“方程
表示的曲线是椭圆”的充要条件；

B．命题“
”的否定是“
”；

C．命题“若
，则方程
有实数根”的逆否命题为：“若方程
无实数根，则
”；

D．若
为假命题，则p,q均为假命题。

8.已知圆O的半径为定长r,点A是圆O外一定点，点P是圆上任意一点，线段AP的中垂线 l 和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是

A.椭圆 B.双曲线的一支 C.双曲线 D.抛物线

9.过点
作直线
，与抛物线
只有一个公共点，满足条件的直线有

A．0条 B．1条 C．2条 D．3条

10.椭圆

的左右焦点分别是
，焦距为
，若直线

与椭圆交于
点，满足
，则椭圆的离心率是

A．
B．
C．
D．

11.如图,
是椭圆
与双曲线

的公共焦点,
分别是
,
在第二、四象限的

公共点.若四边形
为矩形,则
的离心率是

A．
B．
C．
D．

12. 已知两点M（－5，0），N（5，0），若直线上

存在点P ，使
，则称该直线为“B型直线”。给出下列直线 :

①
②
③
④

其中为“B型直线”的是

①③ B．①② C．③④ D．①④

第Ⅱ卷（非选择题）

填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。

13.抛物线
的准线方程为 .

14.直线与双曲线
交于A、B两点，

若线段AB的中点坐标为
，则直线AB的

方程为 .

如果执行如图所示的程序框图，那么输出的

值
= .

已知椭圆方程为
，
k

直线
与该椭圆的一个交点
在
轴上

的射影恰好是椭圆的右焦点，则
的值为 。

解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（本小题满分10分）

已知
，设命题p：函数
为增函数，命题q：当
时，函数
恒成立，如果命题“p
q”为真命题，命题“p
q”为假命题，求实数
的取值范围。

（本小题满分12分）

为了让学生更多地了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有
名学生参加了这次竞赛。为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为
分）进行统计。请你根据下面的频率分布表，解答下列问题：

序号

（
）

分组

（分数）

本组中间值

频数

（人数）

频率









①













②









③











④

⑤



合 计









（I）填写频率分布表中的空格（在解答中直接写出序号对应空格的答案即可）；

（II）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于
分的同学能获奖，请估计在参赛的
名学生中大概有多少同学获奖？

（III）请根据频率分布表估计该校高二年级参赛的800名同学的平均成绩。

19．（本小题满分12分）

（I）双曲线的离心率为
，且与椭圆
有公共焦点，求此双曲线的方程.

(II) 从抛物线
上各点向
轴做垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

（本小题满分12分）

设椭圆中心在坐标原点，焦点在
轴上，一个顶点坐标为
，离心率为
.

（I）求这个椭圆的方程；

（II）若这个椭圆左焦点为
，右焦点为
，过
且斜率为1的直线交椭圆于
、
两点，求
的面积.

21.(本小题满分12分）

已知点
，点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且
，点
满足
，当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E。

（I）求曲线E的方程；

（II）过点Q（1，0）且斜率为k的直线
交曲线E于不同的两点M、N，若D(
,0),且
·
＞0，求k的取值范围。

22.（本小题满分12分）

如图，椭圆
的离心率为
，直线
和
围成的矩形ABCD的面积为8．

（I）求椭圆M的标准方程；

（II）设直线
与椭圆M有两个不同的交点
直线
与矩形ABCD有两个不同的交点
求
的最大值及取得最大值时
的值．

参考答案

选择题：

1. D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C 9.D 10. B 11. D 12.B

填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。

13.
14.
15. 4 16.

解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

解：若
为真，
为假，则
、
一真一假；-----2分

若
为真，则
，
------3分

若
为假，则
------------4分

若
为真，则
，
------5分

若
为假，则
------6分

若
真
假，则
------7分

若
假
真，则
---------8分

的取值范围是：
------------------10分

18. 解：（I）①为
，②为
，③为
，④为
⑤为
．------5分

（II）
，

即在参加的
名学生中大概有
名同学获奖．--------9分

（Ⅲ）

估计平均成绩为81分。------------12分

19.（Ⅰ）
------6分

（Ⅱ）
抛物线------12分

20.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为
， ………………………1分

由题意，
………………………3分

∴椭圆的方程为
…………………………………………4分

（Ⅱ）
，设
，

则直线
的方程为
．……………5分

由
，消
得
…6分

∴

∴
………………………10分

∴

=
………………………………………12分

方法2：联立消去
，用弦长公式求得AB=
,
到AB的距离为
，进而求得面积，酌情给分。

21.（Ⅰ）设
-------1分

则

∵

∴
-----------4分

消去
得
∵
∴

故曲线E的方程为
-------6分

（Ⅱ）设直线
方程为
-------7分

由
得
--------8分

∵直线
交曲线E于不同的两点M、N ∴

即
∴
①----------9分

设M
，N
则

∴

∴
-------10分

解得
② ----------11分

由①②联立解得：

或
----------12分

22.解：（I）
……①

矩形ABCD面积为8，即
……②

由①②解得：
，∴椭圆M的标准方程是
. ………………4分

（II）由
，

设
，则
，-----5分

由
得
.------6分

. ………………7分

线段CD的方程为
，线段AD的方程为
。

①当
时，设点S在AB边上，T在CD边上,

因此
，----8分

此时

………………9分

②当
时，设点S在AD边上，T在CD边上，

所以
，----10分

则
，

令
，则

所以
，

当且仅当

时
取得最大值
，此时
；----11分

综上所述，当
时，
取得最大值
。 ………………12分