2013-2014学年度德兴一中第五次周考试卷

文科数学

一、选择题



1．已知m，n∈R，mi－1＝n＋i，则复数m＋ni在复平面内对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

1．D

【解析】

试题分析：由复数相等的定义可知
,故
,故在复平面内对应的点位于第四象限.

考点：对复数概念的理解，考查学生的基本运算能力．

2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（ ）

A. 归纳推理 B. 演绎推理 C. 类比推理 D.以上都不是

2．C

【解析】

试题分析：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理。选C。

考点：本题主要考查类比推理。

点评：简单题，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

3．椭圆上
一动点P到两焦点距离之和为（ ）

A．10 B．8 C．6 D．不确定

3．A

【解析】

试题分析：由椭圆方程可知
，结合椭圆定义可知距离之和为

考点：椭圆定义及性质

点评：椭圆定义：椭圆上的点到两焦点的距离和为定值
,条件|MF1|+|MF2|>|F1F2|要特别注意。

4．复数
等于（ ）

A. -i B. i C. 0 D.1+i

4．C

【解析】

试题分析：
=
=0,故选C.

考点：复数的运算

5．袋中共有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，2个白球和2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )

A.
B.
C.
D.

5．B

【解析】

试题分析：用
表示红球，
表示两个白球，
表示两个黑球，任取两求的基本事件有
,
共
种，一白一黑的为
共
种，由古典概型的概率计算公式得
，选B.

考点：古典概型概率的计算.

6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间
的人数为（ ）

A．10 B．14 C．15 D．16

6．D

【解析】

试题分析：由系统抽样的定义，960人中抽取32人，共需要均分成32组，每组
人，区间[1,480]恰好含
组，故抽到的32人中，编号落入区间[1,480]的人数为16人.

考点：系统抽样.

7． 在区间(0，1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若
，则

A．
B．
C．
D．

7．C

【解析】因为区间(0，1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若

则

，选C

8．已知命题p：
是命题q：向量
与
共线的（ ）

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

8．A

【解析】

试题分析：当
时，
，
，则
，
共线；当
与
共线，则
，解得
或
.即命题p是命题q的充分不必要条件.

考点：1.充要条件；2.向量共线的充要条件.

9．下列说法中，正确的是（ ）

A．命题“若
”，则“
”的逆命题是真命题；

B．命题“
”的否定是“
”；

C．“
”是
的充分不必要条件；

D．命题“
”为真命题，则命题
和命题
均为真命题.

9．C

【解析】

试题分析：对于A,当
时，
故“若
则“
”的逆命题是假命题；对于B, 命题“
R
”的否定应该是“
，
”；对于D,命题“
”为真命题，则命题
和命题
至少有一个为真命题.

考点：1.四种命题及其关系；2.充分与必要条件；3.全程量词与存在量词.

10．已知命题

，
；命题

，
，则下列命题中为真命题的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10．D；

【解析】取
，可知
错，
为真命题；令
，因为
图像连续，且
，故
在区间（0,1）上有零点，即方程
有解，即
，故
为真命题；所以
为真命题.

【学科网考点定位】本题考查全称命题与特称命题以及复合命题的真假判定，考查学生的逻辑腿理能力.

二、填空题

11．“
”是“
”成立的 条件.（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）

11．充分不必要

【解析】

试题分析：由
，又因为对数函数
在定义域
单调递增，所以
；当
，由于不知道
是否为正数，所以
不一定有意义.故不能推出
，所以
”是“
”成立的充分不必要条件.

考点：对数函数的单调性、充分必要条件

12．在区间
上随机取一个数
，使得函数
有意义的概率为 .

12．

【解析】

试题分析：由
得
的定义域为
，由几何概型求解公式得所求概率为
．

考点：1、函数定义域；2、几何概型．

13．
依此类推，第
个等式为　　　　　　　　　.

13．

14．已知F1、F2为椭圆
的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若
，则
= _____________

14．8

【解析】

试题分析：因为，F1、F2为椭圆
的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若
，由椭圆的定义，|AB|+
，所以，
=8.

考点：椭圆的标准方程，椭圆的定义。

点评：简单题，涉及椭圆的焦点弦问题，往往要利用椭圆的定义：椭圆上的点，到两焦点距离之和为定值。

三、解答题



15．已知
，b=2-x，c=x2-x+1，用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于1。

15．根据反证法来证明，先否定结论，然后根据假设推理论证得到结论。

【解析】

试题分析：证明：假设a、b、c 都小于1，则
2分

因为
，b=2-x，c=x2-x+1，，

所以
，8分

这与
相矛盾，故假设不成立。

综上a、b、c中至少有一个不小于1。12分

考点：反证法

点评：主要是考查了不等式的证明，体现了正难则反思想的运用，属于基础题。

16．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0（其中a≠0），q：实数x满足

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

16．(1) (2,3) (2) (1,2]

【解析】

试题分析：(1)当a＝1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3. 2分

由
，得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3. 4分

若p∧q为真，则p真且q真，5分

所以实数x的取值范围是(2,3)．7分

(2)p是q的必要不充分条件，即q?p，且p/?q，8分

设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则B
A，又B＝(2,3]，

由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，9分

当a＞0时，A＝(a,3a)，有
，解得1＜a≤2；11分

当a＜0时，A＝(3a，a)，显然A∩B＝?，不合题意．13分

所以实数a的取值范围是(1,2]．15分

考点：解不等式及复合命题，集合包含关系

点评：复合命题p∧q的真假由命题p，q共同决定，当两命题中有一个是真命题时复合后为真命题，

由若p是q的必要不充分条件可得集合p是集合q的真子集

17．已知命题p：方程
有两个不等的负实根，命题q：关于x的不等式x2+(m－3)x+m2>0的解集是R．若p或q为真，p且q为假，求实数
的取值范围．

17．

【解析】

试题分析：将两个命题化简，若p真，则m>2；若q真，则m<-3或m>1，由题意知p， q中有且仅有一为真，一为假，分为p假q真和p真q假讨论.

考点：1.一元二次方程；2.命题及其关系.

18．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为76分，用
表示编号为n（n＝1,2,3，…,6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

（1）求第6位同学的成绩
及这6位同学成绩的标准差s；

(2)从6位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（70,75）中的概率．

18．（1）
，
；（2）
.

【解析】

试题分析：本题主要考查平均数、标准差、随机事件概率等基础知识，考查学生的计算能力.第一问，利用已知中给出的表格中的数据，代入到公式中直接求解，较简单；第二问，是随机事件的概率，列出所有事件的情况，在所有情况中数出符合题意的种数.

试题解析：(1)∵
，
，

，∴
. 6分

（2）从6位同学中随机选取2位同学，包含的基本事件空间为

共15个基本事件，

记“选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于
”为事件A，则事件A包含的基本事件为

，共8个基本事件，则
，故从6位同学中随机地选2位同学，恰有1位同学的成绩位于
的概率为
. 12分

考点：1.平均数；2.标准差；3.随机事件的概率.

参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

A

C

B

D

C

A

C

B



11．充分不必要 12．

13．
14．8

15．证明：假设a、b、c 都小于1，则
2分

因为
，b=2-x，c=x2-x+1，，

所以
， 8分

这与已知
相矛盾，故假设不成立。

综上a、b、c中至少有一个不小于1。 12分

16．(1) (2,3) (2) (1,2]

(1)当a＝1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3. 2分

由
，得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3. 4分

若p∧q为真，则p真且q真，5分

所以实数x的取值范围是(2,3)．7分

(2)p是q的必要不充分条件，即q?p，且p/?q，8分

设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则A
B，又B＝(2,3]，

由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，9分

当a＞0时，A＝(a,3a)，有
，解得1＜a≤2；11分

当a＜0时，A＝(3a，a)，显然A∩B＝?，不合题意．13分

所以实数a的取值范围是(1,2]．15分

17．

【解析】

试题分析：将两个命题化简，若p真，则m>2；若q真，则m<-3或m>1，由题意知p， q中有且仅有一为真，一为假，分为p假q真和p真q假讨论.

考点：1.一元二次方程；2.命题及其关系.

18．（1）
，
；（2）
.

(1)∵
，
，

，∴
. 7分

（2）从6位同学中随机选取2位同学，包含的基本事件空间为


共15个基本事件，

记“选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于
”为事件A，则事件A包含的基本事件为

，共8个基本事件，则
，故从6位同学中随机地选2位同学，恰有1位同学的成绩位于
的概率为
. 14分

2013-2014学年度德兴一中第五次周考试卷

文科数学

一、选择题



1．已知m，n∈R，mi－1＝n＋i，则复数m＋ni在复平面内对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（ ）

A. 归纳推理 B. 演绎推理 C. 类比推理 D.以上都不是

3．椭圆上
一动点P到两焦点距离之和为（ ）

A．10 B．8 C．6 D．不确定

4．复数
等于（ ）

A. -i B. i C. 0 D.1+i

5．袋中共有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，2个白球和2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )

A.
B.
C.
D.

6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间
的人数为（ ）

A．10 B．14 C．15 D．16

7． 在区间(0，1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若
，则
（ ）

A．
B．