江苏省扬州中学2013—2014学年度第一学期期中考试

高 二 数 学 试 卷 2013年11月

（注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案写在答题纸上）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）

1．抛物线
的焦点坐标是 ▲ ．

2．命题“
.”的否定是 ▲ ．

3．设
是正方体的一条棱，这个正方体中与
平行的棱共有 ▲ 条．

4．“
且
”是“
”成立的 ▲ 条件．（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）

5．已知椭圆
上一点
到左焦点
的距离是2，则
到左准线的距离为

▲ ．

6．曲线
在点
处的切线方程为 ▲ ．

7.在平面直角坐标系
中，已知双曲线：
（
）的一条渐近线与直线：
垂直，则实数
▲ ．

8.函数
的单调增区间为 ▲ ．

9．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为6cm，则圆锥的母线长为 ▲ cm．

10．函数
在区间[0，π]上的最小值为 ▲ ．

11．设命题
；命题
．若
是
的必要不充分条件，则实数的取值范围是 　▲ ．

12．已知函数
在定义域内是增函数，则实数的取值范围为

▲ ．

13.如图，已知椭圆C：
，是其下顶点，是其右焦点，
的延长线与椭圆及其右准线分别交于
两点，若点恰好是线段
的中点，则此椭圆的离心率
▲ ．

14．设
，函数
，若对任意的
，都有
成立，则的取值范围为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分）

15. （本题满分14分）如图，在三棱锥
中，
分别是边
的中点．

（1）求证：四边形
是平行四边形；

（2）若
，求证：
是菱形．

15．（本题满分14分）设命题：关于的方程
有实数根；命题：关于的不等式
的解集是．若“或”为真，“且”为假，求的取值范围．

17. （本题满分15分）已知椭圆
与椭圆
有相同的焦点，且过点
．

⑵若P是椭圆
上一点，F1、F2为椭圆
的左、右焦点，PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．

18. （本题满分15分）现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形
铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒， 要求材料利用率为l00％，不考虑焊接处损失．

方案一：如图(1)，从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中闻，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；

方案二：如图(2)，若从长方形
的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值，并说明如何剪拼?

19．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系
中，已知
分别是椭圆

E:
的左、右焦点，
分别是椭圆E的左、右顶点，且
.

（1）求椭圆E的离心率；

（2）已知点
为线段
的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接
并延长交椭圆于点
，连接
、
并分别延长交椭圆于点、
，连接
，设直线
、
的斜率存在且分别为
、
，试问是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

20. （本题满分16分）已知函数
,其中是实数.设

,
为该函数图象上的两点,且
.

(1)指出函数
的单调区间;

(2)若函数
的图象在点
处的切线互相垂直,且
,求
的最小值；

(3)若函数
的图象在点
处的切线重合,求的取值范围．

命题、校对：钱伟

审核：姜卫东

高二数学期中试卷答题纸 2013.11

填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩

1． 2． 3． 4．

5． 6． 7． 8．

9． 10． 11． 12．

13． 14．

三、解答题（本大题共6小题，计90分）

15．解：

16．解：

17．解：

18．解：

19.解：

请将20题做在反面

高二数学期中试卷参考答案 2013.11

1.
；2.
；3.3 ；4.充分不必要； 5.
；6.
；7.2 ；

8.
； 9.12 ； 10.
； 11.
；12.
；13.
；14.

15.（1）
为
的中点，
且
．

为
的中点，
且
．

由平行公理，
且
，所以四边形
是平行四边形；

（2）
，同理
，
，
．

由（1）四边形
是平行四边形，所以四边形
是菱形．

16.真：
或
，真：

因为“或”为真，“且”为假，则
一真一假。

若真假
或
，若真假

综上：的范围是

17.（1）
；（2）∵
，PF1+PF2=4，∴PF1·PF2=2，

=

18．方案一：设小正方形的边长为，由题意得
，
，

所以铁皮盒的体积为
．

方案二：设底面正方形的边长为
，长方体的高为，

由题意得
，即
，

所以铁皮盒体积
，

，令
，解得
或
（舍），

当
时，
；当
时，
，所以函数
在
时取得最大值
．将余下材料剪拼成四个长40cm，宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可．

答：方案一铁皮盒的体积为
；方案二铁皮盒体积的最大值为
，将余下材料剪拼成四个长40cm宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可．

19．解：（1）
，
.
，化简得
，

故椭圆E的离心率为
.

（2）存在满足条件的常数
，
.点
为线段
的中点，
，从而
，
，左焦点
，椭圆E的方程为
.设
，
，
，
，则直线
的方程为
，代入椭圆方程
，整理得，
.
，
.从而
，故点
.同理，点
.三点
、
、共线，
，从而
.

从而
.

故
，从而存在满足条件的常数
，
.

20解:（1）函数
的单调递减区间为
,单调递增区间为
,

（2）由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为
,点B处的切线斜率为
,故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有
.

当
时,对函数
求导,得
.

因为
,所以
,

所以
.

因此

当且仅当
=
=1,即
且
时等号成立.

所以函数
的图象在点
处的切线互相垂直时,
的最小值为1

（3）当
或
时,
,故
.

当
时,函数
的图象在点
处的切线方程为

,即

当
时,函数
的图象在点
处的切线方程为

,即
.

两切线重合的充要条件是

由①及
知,
.

由①②得,
.

令
，则
且
。

设
，则

所以
在
为减函数。则
，而当趋近于0时，
无限增大，所以的取值范围是
。

故当函数
的图象在点
处的切线重合,求的取值范围是
。