任城一中2013—2014学年高二入学考试

数学（理）

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。)

1．计算
的结果是（ ）

A
B．
C．
D．

2. 在等差数列｛a
｝中，已知a
=2,a
+a
=13，则a
+a
+a

等于（ ）[来源:学科网ZXXK]

A.40 B.42 C.43 D.45

3.化简
得（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 在△ABC中，若
，则△ABC的形状是（ ）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定

5．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)＝ (　　)

A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5

6．2013年辽宁全运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）

A. 36种 B. 12种 C. 18种
D. 48种

7. 已知对任意实数
，有
，且
时，
，则
时（ ）

A．
B．

C．
D．

8. 由曲线
，直线
及
轴所围成的图形的面积为( )． [来源:Z#xx#k.Com]

A.
B. 4 C.
D. 6

9．已知离散型随机变量X的概率分布列为

X

1

3

5



P

0.5

m

0.2



则其方差D(X)等于(　　)

A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4

10.双曲线
（
，
）的左、右焦点分别是

，过
作倾斜角为
的直线交双曲线右支于
点，若
垂直于
轴，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.实数x、y满足3x2＋2y2=6x，则x2＋y2的最大值为（ ）

A.
　　B.4 C.
　 D.5

12. 下列四个命题中，正确的
是（ ）

.已知函数
，则
；

.设回归直线方程为
，当变量
增加一个单
位时，
平均增加
个单位；

.已知
服从正态分布
,
，且
，则

.对于命
题
：
,使得
，则
：
，均有

二、填空题（共4题，每题5分，计20分）

13. 在
的二项展开式中,常数项等于_______

14. 设
((sin15o,cos15o),则
与
的夹角为________________

15. 设
是等差数列，Sn为其前n项的和。若
，则
_______；

当Sn取得最小值时，n=__________。

16.给出以下命题：

① 存在实数x使sinx + cosx =
；

② 若α、β是第一象限角，且α>β，则 cosα

③ 函数y=
的最小正周期是T=
；

④ 若cosαcosβ=1,则sin（α+β）=0；其中正确命题的序号是 。

三、解答题（本大题共6小题，共计70分）

17.（
本小题满分10分）

一直线过点
，被圆
截得的弦长为
8，求此弦所在的直线方程。

18. （本小题满分12分）

在△ABC中，a、b是
方程x2－2
x+2=0的两根，且2cos(A+B)=1.

(1)求角C的度数；

(2)求c;(3)求△ABC的面积.

19. （本小题满分12分）

已知定义在
上的函数
满足条件：对于任意的
，都有
．当
时，
．

（1）求证：函数
是奇函数；

（2）求证：函数
在
上是减函数；

（3）解不等式
．

20. （本小题满分12分）

已知数列
的前n项和Sn=9-6n．

（1）求数列
的通项公式．

（2）设
，求数列
的前n项和．

（3）
，求数列
的通项公式

21. （本小题满分12分）

假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此
时教室里敞开的窗户个数为X ．

(1)求X的分布列；

(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为y，求y的数学期望．

22. （本小题满分12分）

已知曲线
的极坐标方程是
，直线
的参数方程是
（
为参数）．

（1）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设直线
与
轴的交点是
,
是曲线
上一动点,求
的最大值.

参考答案：

1-5 ABACB 6-10 ABCCC 11-12 BA

13. -160 14. 105o； 15. －11，6； 16. ③ ④

17. x=-3或3x+4y+15=0

18. (1)∵2cos(A+B)=1，∴cosC=－
. ∴角C的度数为120°.

(2)∵a、b是方程x2－2
x+2=0的两根，∴a+b=2
，ab=2,

c2=a2+b2－2abcos
C=(a+b)2－2ab(cosC+1)=12－2=10. ∴c=
.

(3)S=
absinC=
.

19．（1）证明：令
，则
，得
．

令
，则
，即
．故函数
是奇函数．

（2）证明：对于
上的任意两个值
，
，且
，

则
，

又
，则
，又当
时，
．

， 即
．故函数
在
上是减函数．

（3）解：由（2）知：函数

在R上是减函数．

，
．

，解得
．又
所以解集为
．

20. （1）
时，
∴

时，
∴

∴通项公式
[来源:Z§xx§k.Com]

（2）当
时，
∴

时，
∴

∴

(
=1时也符合)

（3）∵

,

两边同时乘以2n,得
即
∴数列{
+4}是以6为首项，4为公比的等比数列，
+4 = 6×4n-1，∴
（n≥2）　

又C1=1, 满足上式 ∴通项公式

21. （1）∵
的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，

∴
，
，

，
，

，

的分布列为

0

1

2

3

4










[来源:学科网ZXXK]









（2）
的所有可能取值为3，4，则

，

，

的期望值
.

22.解：（1）曲线
的极坐标方程可化为

又
,[

所以曲线
的直角坐标方程为

（2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得

令
,得

,即
点的坐标为(2,0).

又曲线
为圆，圆
的圆心坐标为(1,0)，半径
，则

所以
[来源:学+科+网Z+X+X+K]