2015届侨光中学高二年上学期第一次阶段考试

数学（理科）试卷

一、选择题：本大题共13小题,每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡相应位置.

1．直线
的倾斜角是（★★）

A．
B．
C．
D．

2．设
是椭圆
上的点，若
,
是椭圆的两个焦点，则
的周长是(★★)

A．8 B．10 C．13 D．16

3．已知点
，则线段
的垂直平分线的方程是（★★）

A．
B．
C．
D．

4．已知方程
表示圆，则实数
的取值范围是（★★）

A．
B．
C．
D．

5．两直线
与
平行，则它们之间的距离为（★★）

A．
B．
C．
D．

6．直线
截圆
的劣弧所对圆心角大小为（★★）

A．
B．
C．
D．

7.下列说法的正确的是（★★）

A．经过定点
的直线都可以用方程
表示

B．经过定点
的直线都可以用方程
表示

C．不经过原点的直线都可以用方程
表示

D．经过任意两个不同的点
的直线都可以用方程

表示

8．直线
与圆
的公共点个数是(★★)

A．0个 B．0个或1个 C．2个 D．与m的取值有关

9．过椭圆
(
)的左焦点
作
轴的垂线交椭圆于点
，
为右焦点，若
，则椭圆的离心率为（★★）

A．
B．
C．
D．
.w.w.

10．正三角形
的边长为1，
，
，
，则
等于（★★）

A．
B．
C．
D．

11．过点
的直线
与圆
有两个交点，则直线
斜率的取值范围是(★★)

A．
B．
C．
D．

12．若点
在椭圆
上，则
有（★★）

A．最小值1，无最大值 B．最小值0，最大值1

C．最大值
，无最小值 D．最小值0，最大值

13．定义：离心率
的椭圆为“黄金椭圆”，对于椭圆
：

的一个焦点为

，如果
，
，
成等比数列，则椭圆
（★★）

A．一定是“黄金椭圆” B．一定不是“黄金椭圆”

C．可能是“黄金椭圆” D．可能不是“黄金椭圆”

二、填空题：本大题共5小题,每小题4分，共20分.把答案写在答题卡相应位置.

14.已知
，
，且
与
垂直，则实数
的值等于 ★★ .

15.已知椭圆中心在原点，一个焦点为
，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ★★ ．

16.已知点
在圆
上，点
在圆
上，则
的最小

值为 ★★ ．

17．已知方程
表示椭圆，则实数
的取值范围是 ★★ ．

18.已知直线
：
与
：
，给出如下结论：

①当
变化时,
与
分别经过定点
和
；

②不论
为何值时,
与
都互相垂直；

③不论
为何值时,
与
都关于直线
对称；

④当
变化时,
与
的交点轨迹是以
为直径的圆(除去原点),其中
，
.

写出所有正确的结论的序号 ★★ ．

三、解答题：本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.把答案写在答题卡相应位置.

19.(本题满分12分）求经过点
，并且在两个坐标轴上的截距的相等的直线方程

20.(本题满分13分）已知
，
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）当
为何实数时，
与
平行，平行时它们是同向还是反向？

21.(本题满分13分）已知圆
：

及直线
：
，当直线
被圆
截得的弦长为
时.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求过点
并与圆
相切的切线方程.

22.(本题满分13分）设定点
，动点
在圆
上运动，以
，
为邻边作平行四边形
，其中
为坐标原点．

（Ⅰ）设平行四边形
的面积为
，求
的最大值；

（Ⅱ）求点
的轨迹方程．

23.(本题满分14分）已知椭圆
：

的右焦点为
，离心率为
．

（Ⅰ）若椭圆
的短轴长为
，求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）直线
：
与
，
轴分别交于点
，
，设直线
截椭圆
所得弦的中点为
，
为坐标原点，证明：
与
的面积比为定值．

2015届侨光中学高二年上学期第一次阶段考试

数学（理科）试题参考答案

一、1—5.ADBAD 6—10.CDCBA 11-13.CDA

二、14.
15.

16.
17.
且
18. ①②④

三、答案仅供参考，不同解法由阅卷老师自定评分标准。

19.解：当截距为
时，设
，过点
，则得
，即
；

当截距不为
时，设
过点
，

则得
，即
，

故所求的直线有
条：
，
，

20.解：（I）
=(1,0)+3(2,1)=(7,3),∴
=
=
.

（II）k

= k(1,0)－(2,1)=(k－2,－1).

设k

=λ(
),即(k－2,－1)=λ(7,3),

∴

. 故k=
时,它们反向平行.

21.解：（Ⅰ）依题意可得圆心
，

则圆心到直线
的距离

由勾股定理可知
，代入化简得

解得
，又
，所以

（Ⅱ）由（1）知圆
，

又
在圆外

①当切线方程的斜率存在时，设方程为

由圆心到切线的距离
可解得

切线方程为

②当过
斜率不存在直线方程为
与圆相切

由①②可知切线方程为
或
.

22.解：（I）

；或由图形可知，当
时，平行四边形
的面积为最大，又
,
，所以




；

（II）设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，

线段MN的中点坐标为.∵平行四边形对角线互相平分，

∴即

又∵当M，N，O三点共线时，不能作平行四边形．

∵MO所在直线的方程为y＝-x.联立方程x2＋y2＝4，

解得，x＝±，即x0≠±.∴x≠－且x≠－.

∵点N(x0，y0)在圆上，

∴点P的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4(x≠－且x≠－)．

23.解：（I）根据题意得：
又
，

解得
.∴椭圆
的标准方程
；

（Ⅱ）由
得
，∴椭圆
的方程为：
，

直线
的方程为：
.联立
得
，

解得
，∴
，
.∴
，

∴
与
的面积比为定值
．