孝感高中2015届高二数学十月月考试题

（理科）

一.选择题（每小题只有一个答案正确，每小题5'）

1. 已知
平面
的法向量，
直线
的方向向量，则正确一个结论是( )

A.若
，则
B. 若
，则

C. 若
，则
D. 若
，则

2. 若
是椭圆
的上下顶点,
是该椭圆的两个焦点,则以
为顶点的 四边形的面积为( )

A.
B.
C.
D.

3.若椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )

A.
B.
C.
D.

4.已知向量
是空间的一个单位正交基底，若向量
在基底
下的坐标为
，那么向量
在基底
下的坐标为( )

A.
B.
C.
D.

5. 曲线
与曲线
的( )

A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

6. 已知点
( )

A．
B．

C．
D．

7. 如右图，平行六面体
中，以顶点
为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是
,则
到平面
的距离为( )

A．
B．

C．
D．

8. 已知圆
，点
，
是圆上任意一点，线段
的中垂线
和直线
相交于点
，则点
的轨迹方程为 ( )

A.
B.
C.
D.

9. 直线
与曲线
有两个不同的公共点，则实数
( )

A.
B.
C.
D.

10. 如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角， AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点；PA=kAB
，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，则k的取值范围是( )

A.
B.

C.
D.

二.填空题（每小题5'）

11.椭圆
的焦点坐标是______．

12. 已知
是椭圆
的左右顶点，点
在椭圆上(异于
)，直线
，
的斜率分别为
；则
______ __．

13.已知空间向量
，
,且
,
，

则
的值为______ __．

14. 已知椭圆
的左,右焦点分别为F1,F2，若过点
及F1的直线交椭圆于A,B两点，则
的周长为_ __
的面积为_____．

15. 已知实系数方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则
的取值范围是______ __．

三.解答题（解答题必须要写演算步骤，证明过程，文字说明）

16. 已知三点

(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

(2)设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为
，求以
为焦点且过点
的双曲线的标准方程.

17. 如图直三棱柱
的侧棱长为
，
，且
，点
分别是棱
上的动点，且
.

(Ⅰ)求证：无论
在何处，总有
；

(Ⅱ)当三棱锥
的体积取得最大值时，异面直

线
与
所成角的余弦值.

18. 如图，在三棱锥
中
,

,
，

点
分别在
上运动，
，

(Ⅰ)当
为何值时，
的长最小？

(Ⅱ)当
最小时，求二面角
的余弦值

19. 已知椭圆
，直线
与椭圆
交于
两不同的点。
为弦
的中点。

（1）若直线
的斜率为
，求点
的轨迹方程。

（2）是否存在直线
，使得弦
恰好被点
平分？若存在，求出直线
的方程 ，若不存在，说明理由.

20. 如图，左边四边形
中，
是
的中点，

将左图沿直线
折起，使得二面角
为
如右图

求证：
平面

求直线
与平面
所成角的余弦值.

21.如图，在矩形
中，
分别为四边的中点，且都落在坐标轴上，设

（1）求直线
与
的交点
的轨迹
的方程；（2）过圆
上一点
作圆的切线与轨迹
交于
两点，若
试求出
的值。

孝感高中2015届高二数学十月月考试题

（理科）参考答案

一.选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



C

A

B

C

D

B

C

B

D

A





二.填空题

11.
12.
13.

14.
；
15.

三.解答题

16. (1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为
(a＞b＞0)，其半焦距c=6.

2a=|PF1|+|PF2|=
.

∴a=
，b2=a2-c2=45-36=9，所以所求方程为
.

(2)点P(5，2)、F1(-6，0)、F2(6，0)关于直线y=x的对称点分别为P′(2，5)、F′1(0，-6)、F′2(0，6).

设所求双曲线的标准方程为
(a1＞0，b1＞0).

由题意知，半焦距c1=6，

2a1=||P′F′1|-| P′F′2||=|
-
|=4
.

∴a1=2
，
=36-20=16.所以所求方程为
.

17.(Ⅰ)
是正方形，

又
，

，又

(Ⅱ)设
三棱椎
的体积为
.

当
时取等号 ，故当
即点
分别是棱
上的中点时，体积最大，则
为所求；
，
，
，
…12分

18.解析(Ⅰ)建立如图所示直角坐标系：则

当且仅当
，

即
为中点时，
的长最小.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
的长最小时.

，故设平面
的法向量为
则：
，令
得
,同理得平面
的法向量得
,故所求二面角的余弦值为

19. （1）点
的轨迹方程为：
（
）

（2）存在，直线
的方程为：

20．（1）取
中点
，连结
,则
（2分），由余弦定理知
，（4分），又
平面
,
平面
; (6分)

（2）以
为原点建立如图示的空间直角坐标系，则
,

，（8分），设平面
的法向量为

,

由
得
,取
,则
.

（11分）

故直线
与平面
所成角的余弦值为
. （12分）

21.解析（1）设
由已知得
则直线
的方程为
直线
的方程为
消去
得交点
的轨迹
的方程为

（2）连接
由已知得
又
则
①当直线
的斜率不存在时，其方程为
代入
得
又
②当直线
的斜率存在时，设直线
代入
得
设
由
得
即
又点