成都市实验外国语学校2013—2014学年上期10月月考

高二年级数学

选择题（每题5分，共50分）

1. 三视图均相同的几何体有（　　）

A．球 B．正方体 C．正四面体 D．以上都对

2.体积相等的球和正方体，它们的表面积的大小关系是（ ）

A.
B.
C.
D.不能确定

3.直线
与
轴、
轴围成的四边形有外接圆，则
的值等于（ ）

A.
B.
C.
D.

4.在
的条件下，三个结论：①
②
，

③
，其中正确个数的是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

5.如果
是各项都大于零的等差数列，公差
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

6.下列判断中正确的是（ ）

A.
中，
有两解；

B.
有一解；

C.
有两解；

D.
无解；

7.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步。乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度和跑步速度均相同，则（ ）

A.甲先到教室； B.乙先到教室

C.两人同时到教室 D.谁先到教室不确定

8.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）

A.1 B.
C.
D.

9.已知正三棱柱
的棱长相等，
是
的中点，
是
的中点，则异面直线
和
所成角的余弦值是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.设实数
成等差数列，则下列不等式一定成立的是（ ）

A.
B.
C.
D.

二．填空题（每题5分，共25分）

11.若不等式组
表示的面积区域是一个三角形，则
的取值范围是 .

12.下列命题（
是两条直线，
是平面）

①若
//
则
；

②若
则
；

③若
，则
平行于
内的所有直线；

④若
平行于
内的的无数条直线，则
；

以上正确的命题有 个.

13. 如图，
，
分别是正方体
的面
和面
的中心，则四边形
在该正方体的面上的正投影（投射线垂直于投影面的投影）可能是　　　　　　．

（把所有可能图形的序号都填上）

14.已知.
，则
的最小值是 .

15.在
中，角
所对的边分别是
，若
，则
.

三．解答题（共75分）

16.（共12分）

已知
是异面直线，
，求证：

17.（共12分）解关于
的不等式：

18.（共12分）在三角形
中，若
，

求角
的大小；

若
求
的值.

19.（共12分）如图，已知矩形
，
面
，
分别是
的中点，
（注：如果一条直线垂直于平面内任何一条直线，那么称这条直线垂直于这个平面）

证明：
面
；

若
，当
为何值时，
和
都垂直？并说明理由.

20.（13分）已知圆
：
，是否存在斜率为1的直线
，使直线
被圆
截得弦
，且以
为直径的圆过原点，若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由。

21.（14分）

设数列
的前
项和为
.已知
,
,
.

(Ⅰ) 求
的值;

(Ⅱ) 求数列
的通项公式;

(Ⅲ) 证明:对一切正整数
,有
.

成都市实验外国语学校2013—2014学年上期10月考

高二年级数学

参考答案：

一．选择题：

1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.B 8.C 9.A 10.D

二.填空题：

11.
；12. 0个； 13.（2）（3）； 14.
15.
；

三．解答题：

16.（必修② 见教材

组2题.）

证明：设
为
上任意一点，则
与
确定一个平面
，
.

又

又

17.解：

当
时，
，原不等式的解集是：
；

当
时，原不等式为：
；

当
时，原不等式的解集为：
.

18.解：（1）

所以，原式可化为

又

（2）由余弦定理：

又

或

19.解：（1）证明：取
得中点
，连结
，
.

所以，四边形
是平形四边形.

又
面

面
.

（2）当
时，
与
和
都垂直.

理由：当
时，

连结
，

在等腰
中有：

连结
，

在等腰
中有：

故，结论成立.

20.解：圆
：
，假设存在以
为直径的圆
，圆心

由
有：

即

……………①

直线
的方程为
，即

因为圆
过原点，所以，

又
，

………………………②

联立①、②解得：
或

所以，直线
的方程是：
或

21.(1) 解:

,
.
当
时,
又
,
(2)解:

,
.

①
当
时,
② 由① — ②,得

数列
是以首项为
,公差为1的等差数列.
当
时,上式显然成立.
(3)证明:由(2)知,
①当
时,
,
原不等式成立. ②当
时,
,
原不等式亦成立. ③当
时,





当
时,,
原不等式亦成立. 综上,对一切正整数
,有
.