上海市金山中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学（理）试题

（考试时间：120分钟　满分：150分　）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1. 直线
的倾斜角为________．

2．复数
（其中
为虚数单位）为纯虚数,则实数
_______．

3.
的展开式中常数项是_________（用数字作答）．

4．双曲线方程为
，则它的右焦点坐标为___________．

5. 已知圆柱
的底面圆的半径与球
的半径相同，若圆柱
与球
的表面积相等，则它们的体积之比
= (用数值作答)．

6. 将5,6,7,8四个数填入
中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从

左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为___________。

7．若直线
与抛物线
仅有一个公共点，则实数
.

8．在北纬
圈上有甲乙两地，它们的纬度圈上的弧长等于
（
是地球的半径），则甲乙两地的球面距离为__________．

9．在极坐标系中，圆
的圆心到直线
的距离为 ______ ．

10. 袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为
，则袋中黑球的个数为____________．

11．已知
是椭圆
的两个焦点，
为椭圆
上的一点，且
．若
的面积为9，则
．

12. 一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．摸球三次，记中奖的次数为
，则
_______．

13. 已知
为抛物线
上一个动点，
为圆
上一个动点，那么点
到点
的距离与点
到
轴距离之和最小值是________________.

14. 在平面直角坐标系中，设点
，定义
，其中
为坐标原点．对于下列结论：

（1）符合
的点
的轨迹围成的图形的面积为2；

（2）设点
是直线
：
上任意一点，则
；

（3）设点
是直线：
上任意一点，则“使得
最小的点
有无数个”的充要条件是“
”；

（4）设点
是椭圆
上任意一点，则
．

其中正确的结论序号为__________________．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．已知直线
和平面
，那么下列命题中的真命题是 （ ）

(A)若
，则
(B)若
，则

(C)若
，则
(D)若
，则

16．某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：

①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；

②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；

则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是 （ ）

17．关于二项式
有下列命题：

（1）该二项展开式中非常数项的系数和是1；（2）该二项展开式中第六项为
；

（3）该二项展开式中系数最大的项是第1007项；

（4）当
时，
除以2014的余数是2013．

其中正确命题有 （ ）

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

18.函数的图像与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线
的图像绕原点沿逆时针方向旋转
就得到函数
的图像.若把双曲线
绕原点按逆时针方向旋转一定角度
后，能得到某一个函数的图像，则旋转角
可以是 （ ）

（A）
　　　 （B）
　　　 （C）
　　　 （D）

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本小题满分12分，第（1）题6分，第（2）题6分）

已知
是复数，
均为实数（
为虚数单位），且复数
在复平面上对应的点在第一象限，（1）求复数
；（2）求实数
的取值范围．

解：

20．（本小题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）

如图，已知
是底面边长为1的正四棱柱，高
．求

（1）异面直线
与
所成角的大小；

（2）求直线
与平面
所成的角．（结果用反三角函数值表示）

解：

21. （本小题满分14分，第（1）题8分，第（2）题6分）

在平面直角坐标系中，已知
,
,
,
,
,若实数
使得
，其中
为坐标原点．

（1）求
点的轨迹方程，并讨论
点的轨迹类型；

（2）当
时，记
点的轨迹与
轴正半轴的交点为
，点
是
轴上的一个定点，若
的最小值为
，求实数
的取值范围.

解：

22．（本小题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分）

如图，已知四面体
中，
，且
两两互相垂直，点
是
的中心．

（1）求二面角
的大小（用反三角函数表示）；

（2）过
作
，垂足为
，求
绕直线
旋转一周所形成的几何体的体积；

（3）将
绕直线
旋转一周，则在旋转过程中，直线
与直线
所成角记为
，求
的取值范围．

解：

23. （本小题满分18分，第（1）题6分，第（2）题6分，第（3）题6分）

如图，曲线
是以原点
为中心,
为焦点的椭圆的一部分.曲线
是以
为顶点，
为焦点的抛物线的一部分,
是曲线
和
的交点且
为钝角，若
，
.

（1）求曲线
和
的方程；

（2）设点
是
上一点，若
，求
的面积；

（3）过
作一条与
轴不垂直的直线，分别与曲线
依次交于
四点，若
为
中点、
为
中点，问
是否为定值？若是求出定值；若不是,请说明理由.

解：

参考答案

1. 直线
的倾斜角为___
_____．

2．复数
（其中
为虚数单位）为纯虚数,则实数
___2____．

3.
的展开式中常数项是___15______（用数字作答）．

4．双曲线方程为
，则它的右焦点坐标为____
_______．

5. 已知圆柱
的底面圆的半径与球
的半径相同，若圆柱
与球
的表面积相等，则它

们的体积之比
=
(用数值作答)．

6. 将5,6,7,8四个数填入
中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从

左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为______6_____。

7．若直线
与抛物线
仅有一个公共点，则实数
0或
.

8．在北纬
圈上有甲乙两地，它们的纬度圈上的弧长等于
（
是地球的半径），则甲乙两地的球面距离为____
______．

9．在极坐标系中，圆
的圆心到直线
的距离为 __
____ ．

10. 袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为
，则袋中黑球的个数为_____
_______．

11．已知
是椭圆
的两个焦点，
为椭圆
上的一点，且
．若
的面积为9，则

．

12. 一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．摸球三次，记中奖的次数为
，则
___
____．

13. 已知
为抛物线
上一个动点，
为圆
上一个动点，那么点
到点
的距离与点
到
轴距离之和最小值是_____
___________.

14. 在平面直角坐标系中，设点
，定义
，其中
为坐标原点．对于下列结论：

（1）符合
的点
的轨迹围成的图形的面积为2；

（2）设点
是直线
：
上任意一点，则
；

（3）设点
是直线：
上任意一点，则“使得
最小的点
有无数个”的充要条件是“
”；

（4）设点
是椭圆
上任意一点，则
．

其中正确的结论序号为_____（1）、（3）、（4）_____________．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．已知直线
和平面
，那么下列命题中的真命题是 （ A ）

(A)若
，则
(B)若
，则

(C)若
，则
(D)若
，则

16．某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：

①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；

②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；

则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是 （ D ）

(A)①用系统抽样，②用随机抽样 (B)①用系统抽样，②用分层抽样

(C)①用分层抽样，②用系统抽样 (D)①用分层抽样，②用随机抽样

17．关于二项式
有下列命题：

（1）该二项展开式中非常数项的系数和是1；（2）该二项展开式中第六项为
；

（3）该二项展开式中系数最大的项是第1007项；

（4）当
时，
除以2014的余数是2013．

其中正确命题有 ( C )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

18.函数的图像与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线
的图像绕原点沿逆时针方向旋转
就得到函数
的图像.若把双曲线
绕原点按逆时针方向旋转一定角度
后，能得到某一个函数的图像，则旋转角
可以是 （ C ）

（A）
　　　 （B）
　　　 （C）
　　　 （D）

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答