上海市金山中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学试题（文）

（考试时间：120分钟　满分：150分）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1. 直线
的倾斜角为________．

2．复数
（其中
为虚数单位）为纯虚数,则实数
_______．

3．双曲线方程为
，则它的渐进线方程为___________．

4. 某社区有500个家庭, 其中高收入家庭125户, 中等收入家庭280户, 低收入家庭95户.

为了调查社会购买力的某项指标, 采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样

本, 若高收入家庭抽取了25户, 则低收入家庭被抽取的户数为 .

5．
的展开式中常数项是_________（用数字作答）．

6. 一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为_________．

7．若一个圆锥的轴截面是边长为
的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为_________
．

8．抛物线的焦点为椭圆
的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 .

9．如下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_____________．

10．若样本1，2，3，
的平均数为5，又样本1，2，3，
，
的平均数为6，则样本1，2，3，
，
的方差是__________．

11. 圆柱形容器内盛有高度为
的水，若放入三个相同的球（球的半径与 圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如右图所示），则球的半径是__________
．

12.平面内与直线平行的非零向量称为直线的方向向量；与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的法向量.在平面直角坐标系中，利用求动点的轨迹方程的方法，可以求出过点
且法向量为
（点法式）方程为
，化简后得
.类比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点
，且法向量为
的平面（点法式）方程为_______________（请写出化简后的结果）．

13. 已知
为抛物线
上一个动点，
为圆
上一个动点，那么点
到点
的距离与点
到直线
距离之和的最小值是________________.

14. 平面上两点
满足
设
为一实数，令Γ表示平面上满足
的所有
点所成的图形，又令
为平面上以
为圆心、6为半径的圆. 给出下列选项：

①当
时，Γ为直线；②当
时，Γ为双曲线；

③当
时，Γ与圆
交于两点；④当
时，Γ与圆
交于四点；

⑤当
时，Γ不存在.

其中，正确选项的序号是 （将正确选项的序号都填上）．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15. “
”是“直线
与
平行”的 （ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

16. 已知数据
是上海普通职工

个人的年收入,设这
个数据的中位数为
，平均数为
，方差为
，如果再加上世界首富的年收入
，则这
个数据中，下列说法正确的是 （ ）

17．关于二项式
有下列命题：

（1）该二项展开式中非常数项的系数和是1；（2）该二项展开式中第六项为
；

（3）该二项展开式中系数最大的项是第1007项；

（4）当
时，
除以2014的余数是2013．

其中正确命题有 （ ）

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

18. 设不等式组
表示的平面区域是
，若
中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有
个，则实数
的取值范围是 （ ）

　（A）
　　　 （B）
　　　（C）
　　　（D）

三、解答题（74分）

19．（本小题满分12分，第（1）题6分，第（2）题6分）

已知
是复数，
均为实数（
为虚数单位），且复数
在复平面上对应的点在第一象限，（1）求复数
；（2）求实数
的取值范围．

解：

20．（本小题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）

如图，已知
是底面边长为1的正四棱柱，高
．求

（1）异面直线
与
所成角的大小；

（2）求直线
与平面
所成的角．（结果用反三角函数值表示）

解：

21．（本小题满分14分，第（1）题8分，第（2）题6分）

在平面直角坐标系中，已知
,
,
,
,
,若实数
使得
，其中
为坐标原点．

（1）求
点的轨迹方程，并讨论
点的轨迹类型；

（2）当
时，记
点的轨迹与
轴正半轴的交点为
，点
是
轴上的一个定点，若
的最小值为
，求实数
的取值范围.

解：

22．（本小题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分）

如图，已知四面体
中，
，且
两两互相垂直，点
是
的中心，过
作
，垂足为
．

（1）求二面角
的大小（用反三角函数表示）；

（2）求
绕直线
旋转一周所形成的几何体的体积；

（3）求点
到平面
的距离．

解：

23. （本小题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）

如图，设点
为圆
上的动点，过点
作
轴的垂线，垂足为
．动点
满足
（其中
，
不重合）．过直线
上的动点
作圆
的两条切线，设切点分别为
．

（1）求点
的轨迹
的方程；

（2）若点
的纵坐标为
时，求直线
的方程；

（3）若直线
与曲线
交于
两点，求
的取值范围．

解：