福建师大附中2012－2013学年第二学期第一学段模块测数学文试卷

一、选择题：（ 每小题5分，共60分；在给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项符合题目要求 ）

1.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（***）

① y = sin x（x ∈ R ）是三角函数；② 三角函数是周期函数；

③ y = sin x（x ∈ R ）是周期函数.

A．① ② ③ Ｂ. ② ① ③ Ｃ.② ③ ① Ｄ.③ ② ①

2. 函数
的单调递减区间为( *** )

Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

3.“
”是“复数
为纯虚数”的（***）

A.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 若根据10名儿童的年龄 x（岁）和体重 y（㎏）数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是 y = 2 x + 7 ，已知这10名儿童的年龄分别是 2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，则这10名儿童的平均体重是（***）

A.17 ㎏ B.16 ㎏ C.15 ㎏ D.14㎏

5.下列命题中是真命题的是（ *** ）

A．“若
或
，则
”;

B. 命题“矩形是平行四边形”的否定;

C.“若
，则关于
的方程
有实根”的否命题;

D.“若
是无理数，则
是有理数”的逆命题.

6. 在复平面上，平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C 对应的复数分别为
，则第四个顶点D的坐标所对应的复数为（ *** ）

A．
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

7. 某种金属材料在耐高温实验中，温度随时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示.下面说法正确的是：（ *** ）

①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；

③ 5分钟以后温度保持匀速增加； ④ 5分钟以后温度保持不变.

A．①④ B. ②④ C.②③ D. ①③

8.命题“
”为假命题，则实数
的取值范围为（ *** ）

A．
Ｂ.
或
Ｃ.
Ｄ.
或

9.函数
在区间
上的最大值为（ *** ）

A．
B.
C.
D.

10．若方程
有两个实根，则
的取值范围为（***）

A．
B.
C.
D.

11. 下列类比推理的结论正确的是（ *** ）：

①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；

②类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想

“空间中，同垂直于一直线的两直线相互平行”；

③类比“设等差数列
的前
项和为
，则
成等差数列”，

得到猜想“设等比数列
的前
项积为
，则
成等比数列”；

④类比“设
为圆的直径，
为圆上任意一点，直线
的斜率存在，则
为常数”，得到猜想“设
为椭圆的长轴，
为椭圆上任意一点，直线
的斜率存在，则
为常数”.

A．①④ B. ①② C.②③ D. ③④

12．对于任意两个正整数
,定义某种运算“※”如下:当
都为正偶数或正奇数时,
※
=
;当
中一个为正偶数,另一个为正奇数时,
※
=
．则在此定义下,

集合
※
中的元素个数是 （ *** ）

A．10个 B．15个 C．16个 D．18个

二、填空题（每小题4分，共16分）

13. 已知
为虚数单位，复数
，则复数
的实部为_*****_

14．右面的程序框图输出
的值为_*****

15．如图，第n个图形是由正n + 2 边形“ 扩展 ” 而来，
，

则在第n个图形中共_******_有个顶点.(用n表示)

16．某同学在研究函数
的性质时，受到两点间距离公式的启发，将
变形为
，则
表示
（如图），下列关于函数
的描述正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）

①
的图象是中心对称图形； ②
的图象是轴对称图形；

③函数
的值域为
；④方程
有两个解.

三、解答题：（本大题共6题，满分74分）

17.已知全集
，集合
，

（I） 若
，求
；

（Ⅱ）若
，求实数
的取值范围.

18.甲、乙两台机床生产同一型号零件．记生产的零件的尺寸为
(cm)，相关行业质检部门规定：若
，则该零件为优等品；若
，则该零件为中等品；其余零件为次品．现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件，经质量检测得到下表数据：

尺寸















甲机床零件频数

2

3

20

20

4

1



乙机床零件频数

3

5

17

13

8

4



（Ⅰ）设生产每件产品的利润为：优等品3元，中等品1元，次品亏本1元.试根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的平均值；

（Ⅱ）对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，试根据样本估计总体的思想，估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明理由.

参考公式：
. 参考数据：

0．25

0．15

0．10

0．05

0．025

0.010





1．323

2．072

2．706

3．841

5．024

6.635





19. 先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：

已知
，
，求证：
．

证明：构造函数
，

因为对一切
，恒有
≥0，所以
≤0，从而得
，

（Ⅰ）若
，
，请写出上述结论的推广式；

（Ⅱ）参考上述解法，对你推广的结论加以证明；

20. 已知函数

（Ⅰ）证明：曲线
不可能与直线
相切;

（Ⅱ）若
，求函数
在
上的最大值.

21．某人要建造一面靠旧墙的矩形篱笆, 地面面积为24
、高为1
，旧墙需维修，其它三面建新墙，由于地理位置的限制，篱笆正面的长度
米,不得超过
米(
)，正面有一扇1米宽的门，其平面示意图如下.已知旧墙的维修费用为150元/
，新墙的造价为450元/
.（门的费用不计）

（Ⅰ）把篱笆总造价
元表示成
米的函数，并写出该函数的定义域；

（Ⅱ）当
为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

22．设函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的图象在点
处的切线方程；

（Ⅱ）已知
，若函数
的图象总在直线
的下方，求
的取值范围；

（Ⅲ）记
为函数
的导函数．若
，试问：在区间
上是否存在
（

）个正数
…
，使得
成立？请证明你的结论.

师大附中2012-2013学年第二学期半期考试卷参考答案

BDACD ABCCC DB

13.
14. 14 15.
16. ②③

17. 解：（I）当
时，集合
，

（Ⅱ）①当
时，即
，
，满足
；②当

时，满足
；总上所述，若
，
的取值范围为
.

18． 解：（Ⅰ）设甲机床生产一件零件获得的利润为
元，

则有
元

所以，甲机床生产一件零件的利润的平均值为2.48元.

（Ⅱ）由表中数据可知：甲机床优等品40个，非优等品10个；乙机床优等品30个，非优等品20个.

制作2×2列联表如下:

甲机床

乙机床

合计



优等品

40

30

70



非优等品

10

20

30



合计

50

50

100



计算
=
.

考察参考数据并注意到
，可知：对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，根据样本估计总体的思想，约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”．

19. （Ⅰ）若
，
，则

证明：构造函数
=
，
恒成立，
，
.

20.解：（I）假设曲线与直线能相切，则有
，即
，

而方程
的
，无实根，所以假设错误. 曲线
与直线
不可能相切.

(Ⅱ)
,列表可知
的增区间为
；减区间为
，极大值点为
，极小值点为
，

若
，
在
上为增函数，
；

若
，
在
上为减函数，在
为增函数，
，
；

若
，
在
位增函数，在
为减函数，在
为增函数，
. 综上所述，
在
上的最大值为
.

21. 解：依题意得：

①当
时，

当且仅当
即
时取等号，此时总造价最低为6750元

②当
时，
，
，

，且

函数在
上为减函数

当
时，

答：当
时，总造价最低为3150元；
时，总造价最低
元

22． 解：（Ⅰ）当
时，
，
，
，

所以切线的斜率为
.…又
，所以切点为
.

故所求的切线方程为：
即
.

（Ⅱ）
，
，
.

令
，则
.

当
时，
；当
时，
.

故
为函数
的唯一极大值点，

所以
的最大值为
=
.

由题意有
，解得
.

所以
的取值范围为
.

（Ⅲ）当
时，
. 记
，其中
.

∵当
时，
，∴
在
上为增函数，

即
在
上为增函数. 又
，

所以，对任意的
，总有
.

所以
，

又因为

，所以
.

故在区间
上不存在使得
成立的
（

）个正数
…
.