2012-2013学年高二下学期期中考试数学理试题

一、选择题（本题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1.由“若
，则
”推理到“若
，则
”是（ ）

A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.不是推理

2.复数
，若
的实部和虚部互为相反数，则实数
的值为（ ）

A. 3 B.
C. －
D. －3

3．曲线
上一点
处的切线方程是( )

A.
B.
C.
D.

4. 函数
的导数是( )

A.
B.

C.
D.

5.设
为正数，且
，则下列各式中正确的一个是 （ ）

A.
B.
C.
D.

6.观察下列各式：
，则
的末四位数字为

A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 （ ）

7.
是
的导函数，
的图象如右图所示，则
的图象只可能是（ ）

A B C D

8．函数
的递增区间是( )

A.
B.
和
C.
D.
和

9.设
分别是定义在
上的奇函数和偶函数,当
时，

，且
，则不等式
的解集是（ ）

A.
B.

C.
D.

10.已知
是三次函数
的两个极值点，且
则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共7小题，每题4分，共28分）

11. 设
是原点，向量
对应的复数分别为
那么向量
对应的复数是 ；

12. 若
,且
,则
__________________；

13．若曲线
上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数
=______________.

14．用数学归纳法证明：
时,从“
到
”左边需增加的代数式是______________________.

15.在等差数列
中，若
，则有

成立.类比上述性质，在等比数列

中，若
，则有 .

16. 设
(
是两两不等的常数)，则

的值是 ______________.

17. 设函数
在区间（0，4）上是减函数，则
的取值

范围是 .

三、解答题（本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明或演算过程）

18.设
是虚数，
是实数，且
.

(1)求
的值及
的实部的取值范围；

（2）设
，求证：
为纯虚数.

19．(1) 已知:
都是正实数,且

求证:
.

(2)若下列三个方程：
中至少有一个方程有实根，试求
的取值范围.

20. 在各项为正的数列
中,数列的前
项和
满足
,

(1)求
；

(2)由(1)猜想数列
的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.

21.已知平面向量
.

（1）求证
；

（2）若存在不同时为零的实数
和
，使得向量
，且
，试求函数解析式
；

（3）根据（2）的结论，讨论关于
的方程
的解的情况.

22.设函数
，已知
和
为
的极值点.

（1）求
和
的值；

（2）讨论
的单调性；

（3）设
，试比较
与
的大小.