江西省吉安市2012－2013学年下学期高二期末考试

数学试卷（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

参考数据：

P(
)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：（本大题共10个小题，满分50分，每小题5分，每小题给出四个选项，只有一个是符合题目要求的。）

1. 吉安市某校高二（1）班有学生54人，（2）班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试，则（1）班和（2）班分别被抽取的人数是

A. 8，8 B. 9，7 C. 10，6 D. 12，4

2. 对四组数据进行统计，画出下列四个散点图，对其线性相关系数比较，正确的是

A.
B.

C.
D.

3. 复数z满足
，则z在复平面上对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 某校高二（1）班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是
和
，现甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是

A.
B.
C.
D.

5. 曲线
在点
处的切线方程为

A.
B.

C.
D.

6. 设全集
，集合
，则
（
）等于

A.
B.

C.
D.

7. 电子手表厂生产某批电子手表正品率为
，次品率为
，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则
等于

A.
B.
C.
D.

8. 在R上定义运算*：
，且
，则不等式
的解集为

A.
B.

C.
D.

9. 已知函数
，若对任意
，存在
，使得
，则实数
的取值范围是

A.
B.

C.
D.

10. 已知函数
，点
是函数
图像上任一点，其中0（0，0），
，记△OAP的面积为
，则
的图像可能是

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在相应的横线上。）

11. 函数
的导函数是______________；

12. 二项式
的展开式中所有二项式系数的和为32，且此二项展开式中
项的系数为a，则
的值为____________；

13. 观察下列等式

2＝2 第1个等式

4＋6＝10 第2个等式

6＋8＋10＝24 第3个等式

8＋10＋12＋14＝44 第4个等式

………

按此规律，第n个式子的右边等于_________；

14. 将大小相同5个不同颜色的小球，放在A、B、C、D、E共5个盒子中，每个球可以任意放在一个盒子里，则恰有两个盒子空且A盒子最多放1个球的放球方法总数为_____________；

15. 关于下列命题：

①若一组数据中的每一个数据都加上同一个数后，方差恒不变；

②满足方程
的x值为函数
的极值点；

③命题“p且q为真”是命题“p或q为真”的必要不充分条件；

④若函数
的反函数的图像过点
，则
的最小值为
；

⑤点
是曲线
上一动点，则
的最小值是
。

其中正确的命题的序号是____________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）。

三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

16. （本题满分12分）在一段时间内有100辆汽车经过某交通岗，时速（单位：km/h）频率分布直方图如图所示，（1）求时速超过60km/h的汽车的数量；

（2）从时速在[30，40）与[70，80]的两部分中共取两辆汽车，速度分别为v1，v2，求这两辆汽车的时速满足
的概率。

（3）以在这段时间内经过交通岗的汽车的频率为概率，求在此交通岗经过的5辆汽车中恰有2辆汽车的速度在［40，50）的概率。

17. （本题满分12分）直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：

（1）若点A（1，
），点P是曲线C上任一点，求
的取值范围；

（2）若直线
的参数方程是
，（t为参数），且直线
与曲线C有两个交点M、N，且
，求m的值。

18. （本题满分12分）已知
（
R）

（1）若
，求m、
及
的值；

（2）若离散型随机变量X~B（4，
）且
时，令
，求数列
的前2013项的和
。

19. （本题满分12分）吉安市某校高二年级抽取了20名学生的今年三月、四月、五月三个月的月考的数学、化学成绩，计算了他们三次成绩的平均分如下表：

学生序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



数学

120

105

91

124

85

132

121

100

78

135



化学

70

68

74

82

78

71

81

62

54

90



学生序号

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20



数学

132

92

85

123

100

97

101

96

103

105



化学

85

65

53

77

63

85

73

45

84

72



该校规定数学（≥120分）为优秀，化学（≥80分）为优秀，其余为不优秀。

（1）从这20名学生中随机抽取2名，用X表示数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望；

（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过10％的前提下认为化学成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关？

20. （本题满分13分）设数列
的前n项和为
，并且满足
成等差数列，
。

（1）写出
与
的关系并求
；

（2）猜想
的通项公式，并用数学归纳法加以证明；

（3）设
，且
，求
的最小值（用n表示）。

21. （本题满分14分）已知函数

（1）当
时，求函数
的单调区间及极值；

（2）令
，当
时，不等式
恒成立，求实数a的取值范围；

（3）令
，记数列
的前n项积为
，求证：
。

【试题答案】

一、选择题

1. B 2. A 3. A 4. D 5. B 6. B 7. B 8. C 9. D 10. A

二、填空题

11.
12.
13.
14. 1020

15. ①④⑤

三、解答题

16. （本题满分12分）

解：（1）时速超过60km/h的汽车的数量为
（辆）；4分

（2）记两辆汽车的时速满足
为事件A；

又两辆汽车的时速满足
，

即：在
中共取两辆汽车或在
中共取两辆汽车，

而
中有5辆车，[70，80]中有10辆车；

则：
； 8分

（3）记此交通岗经过的5辆汽车中恰有2辆汽车的速度在[40，50）为事件B，又在这段时间内经过交通岗的汽车速度在
的概率为
，则
；

12分

17. （本题满分12分）

解：（1）点A（1，
）化成直角坐标为（0，1），曲线C：
化成直角方程

为
， 2分

当点P为直线AP过圆心C（2，0）与圆相交的交点时
最大（小），

则
，

的取值范围为
； 6分

（2）若直线
的参数方程化成普通方程为
，

又直线
与曲线C有两个交点M、N，且
＝0，

则：圆心C（2，0）到直线
的距离为
；

即：
，
12分

18. （本题满分12分）

解：（1）

＝1 4分

则：
，

令
得：
，且
； 6分

（2）∵离散型随机变量
且

7分

则两边取导得：
9分

令
得：

即：
；

∴数列
的前2013项的和
； 12分

19. （本题满分12分）

解：（1）由已知可得：数学成绩优秀的人数为7，数学成绩不优秀的人数为13，

则：X可能取的值为0，1，2； 1分

且

4分

则X的分布列为
且

＋
6分

（2）由已知可得：这名学生数学优秀及不优秀，化学优秀及不优秀的人数如下表

数学优秀

数学不优秀

合计



化学优秀

4

2

6



化学不优秀

3

11

14



合计

7

13

20



8分

则：
10分

则：可以认为在犯错误的概率不超过10%的前提下化学成绩优秀和数学成绩优秀有关。

12分

20. （本题满分13分）

解：（1）由
①

可知，当
时，
②

①－②，得
，即
。 2分

分别令
，得
。 4分

（2）证法一：猜想：
，

1）当
时，结论显然成立。

2）假设当
时，
。那么当
时，
＋

，

，

。

这就是说，当
时也成立，
。显然
时，也适合。

故对于
，均有
9分

（3）
，且

的最小值为
。 13分

21. （本题满分14分）

解：（1）当
时，

当
时
；当
时
＜0

∴当
时
，无极小值，

且函数
的单调增区间为
，单调减区间为
； 4分

（2）当
时，不等式
恒成立等价于
≥0

即：
恒成立。令
，

当
时，
则：

则实数a的取值范围
9分

（3）由（1）得：当
时，
在区间
单调递减，则：
，

即：
，

则：

记：
①

②

①－②得：

12分

则：
14分