北京师大附中2012—2013学年度第二学期期末考试

高 二 数 学（理科）试 卷

试卷说明：1．本试卷共150分，考试时间120分钟．

2．请将答案填写在答题纸上，考试结束后，监考人员只将答题纸收回．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在答题纸上．

1. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为
和
，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）

A
B
C
D

2. 盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球的概率是（ ）

A
B
C
D

3. 如图，
是⊙
的直径，
是
延长线上的一点，过
作⊙
的切线，切点为
，
，若
，则⊙
的直径
为（ ）

A 2 B
C 4 D

4. 已知随机变量
服从正态分布
，
，则
的值为（ ）

A 0.16 B 0.32 C 0.68 D 0.84

5. 在
的展开式中，
的系数是（ ）

A －297 B －252 C 297 D 207

6. 由曲线
和直线y=1围成图形的面积是（ ）

A
B
C 3 D

7. 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（ ）

A 60 B 48 C 36 D 24

8. 某班试用电子投票系统选举班干部候选人。全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k。规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”。令

其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）

A

B

C

D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填写在答题纸上．

9. 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有
种.

10.
，则
.

11. 如图，
是梯形
的腰
上的点，其中
，若
，则
.

12. 若曲线
存在垂直于y轴的切线，则实数
的取值范围是
.

13. 设集合
，集合
是
的子集，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数均不小于A中最大的数，则满足条件的集合
有
组.

14. 计算
可以采用以下方法：

构造恒等式
，两边对x求导，得

，

在上式中令
，得

类比上述计算方法，计算
.

解答题：本大题共6小题，共80分

15. 已知函数

（1）求
的极值.

（2）求
在区间
上的最大值和最小值.

16. 某校10名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队（简称“科服队”），他们参加活动的有关数据统计如下：

参加活动次数

1

2

3



人　　数

2

3

5





（1）从“科服队”中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；

（2）从“科服队”中任选2人，用
表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量
的分布列及数学期望
.

17. 某旅行社为3个旅游团提供了4条参观园博园的旅游线路，每个旅游团任选其中一条，

（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；

（2）求恰有2条线路没有被选择的概率；

（3）求选择甲线路的旅游团数的分布列和数学期望.

18. 某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．

（Ⅰ）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；

（Ⅱ）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖.如果前三道题都答错，就不再答第四题.某同学进入决赛，每道题答对的概率
的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．

①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；

②记该同学决赛中答题个数为
，求
的分布列及数学期望.

19. 已知函数
，

（1）当
时，若函数
在其定义域内是增函数，求b的取值范围；

（2）若
的图象与
轴交于
两点，设AB的中点
为
，求证：
.

20. 设M是含有n个正整数的集合，如果M中没有一个元素是M中另外两个不同元素之和，则称集合M 是n级好集合，

（Ⅰ）判断集合{1，3，4，7，9}是否是5级好集合，并写出另外一个5级好集合，满足其最大元素不超过9；

（Ⅱ）给定正整数
，设集合
是好集合，其中
为正整数，试求
的最大值，并说明理由；

（Ⅲ）对于任意n级好集合M，求集合M中最大元素的最小值（用n表示）.

北京师大附中2012—2013学年度第二学期期末考试

高 二 数 学（理科）试 卷（答题纸）

班级________ 姓名__________ 学号_______ 成绩_______

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案





















二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．______________________________；

10．______________________________；



11．______________________________；

12．______________________________；



13．______________________________；

14. ______________________________.





三、解答题：本大题共6小题，共80分．

15．

16．

17.

18.

19.

20.