甘肃兰州一中

2012—2013学年度下学期期末考试

高二数学理试题

★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效．

一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中．)

1．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有

A．96种 B．180种 C．240种 D．280种

2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有

A．8种 B．10种 C．12种 D．32种

3．二项式(
)30的展开式的常数项为第几项

A．17 B．18 C．19 D．20

4．甲、乙两棉农，统计连续五年的面积产量(千克∕亩)如下表：

棉农甲

68

72

70

69

71



棉农乙

69

71

68

68

69



则平均产量较高与产量较稳定的分别是

A．棉农甲，棉农甲 B．棉农甲，棉农乙

C．棉农乙，棉农甲 D．棉农乙，棉农乙

5．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是

A．模型1的相关指数R2为0.96 B．模型2的相关指数R2为0.86

C．模型3的相关指数R2为0.73 D．模型4的相关指数R2为0.66

6．已知随机变量X～B(n，0.8)，D(X)=1.6，则n的值是

A．8 B．10 C．12 D．14

7．在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是
，则事件A在一次试验中出现的概率是

A．
B．
C．
D．

8．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：

x

10

20

30

40

50



y

62

■

75

81

89



由最小二乘法求得回归方程为
=0.67x+54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该点数据的值为

A．67 B．68 C．69 D．70

9．已知a≥0，b≥0，且a+b=2，则

A．ab≤
B．ab≥
C．a2+b2≥2 D．a2+b2≤3

10．设x>0，y>0，z>0，a=x+
，b=y+
，c=z+
，则a，b，c三数

A．至少有一个不大于2 B．都小于2

C．至少有一个不小于2 D．都大于2

二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在试卷的答题卡中．)

11．不等式2|x|+|x-1|<2的解集是 ▲ ．

12．设随机变量(服从正态分布N(3，4)，若P((<2a-3)=P((>a+2)，则a= ▲ ．

13．已知a=2
，b=
，则a，b大小关系是a ▲ b．

14．设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6．现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是 ▲ ．

三、解答题：(本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15．(本题满分8分)

若a，b，c(R+，且a+b+c=1，求
的最大值．

16．(本题满分8分)

已知三点(3，10)，(7，20)，(11，24)的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，求其线性回归方程．

(参考公式：
，
)

17．(本小题满分8分)

已知x，y，z均为正数．求证：
．

18．(本小题满分10分)

为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：

处罚金额x(元)

0

5

10

15

20



会闯红灯的人数y

80

50

40

20

10



若用表中数据所得频率代替概率．现从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验．

(Ⅰ)求这两种金额之和不低于20元的概率；

(Ⅱ)若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．

19．(本小题满分10分)

“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男性

女性

合计



反感

10







不反感



8





合计





30



已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是
．

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关？

(Ⅱ)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望．

P(K2>k)

0.05

0.025

0.010

0.005



k

3.841

5.024

6.635

7.879



下面的临界值表供参考：

(参考公式：K2=
，其中n=a+b+c+d)

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

C

B

A

B

A

B

C

C



二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．

11．{x|-
14．

三、解答题：(本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15．(本题满分8分)

若a，b，c(R+，且a+b+c=1，求
的最大值．

解：∵(
)2=a+b+c+2(
)………………………3分

≤1+2(
)=1+2(a+b+c)=3．……………………………6分

∴
，当且仅当a=b=c=
时取“=”号．………………8分

16．(本题满分8分)

已知三点(3，10)，(7，20)，(11，24)的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，求其线性回归方程．

(参考公式：
，
)

解：
=7，
=18，
=179，
=434，…………………………3分

，
=18-
×7=
．…6分

∴回归直线方程为
=
x+
．(或
=1.75x+5.75) …………………8分

17．(本小题满分8分)

已知x，y，z均为正数．求证：
．

证明：∵x，y，z都是为正数，∴
．……………4分

同理，可得
，
．……………………………6分

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得

．……………………………………………8分

18．(本小题满分10分)

为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：

处罚金额x(元)

0

5

10

15

20



会闯红灯的人数y

80

50

40

20

10



若用表中数据所得频率代替概率．现从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验．

(Ⅰ)求这两种金额之和不低于20元的概率；

(Ⅱ)若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．

解：(Ⅰ)设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种，总的抽选方法共有
=10种，满足金额之和不低于20元的有6种，

故所求概率为P(A)=
．.……………………4分

(Ⅱ)根据条件，X的可能取值为5，10，15，20，25，30，35，分布列为

X

5

10

15

20

25

30

35



P

















EX=
=20．……10分

19．(本小题满分10分)

“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男性

女性

合计



反感

10







不反感



8





合计





30



已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是
．

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关？

(Ⅱ)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望．

下面的临界值表供参考：

P(K2>k)

0.05

0.025

0.010

0.005



k

3.841

5.024

6.635

7.879





(参考公式：K2=
，其中n=a+b+c+d)

解：(Ⅰ)

男性

女性

合计



反感

10

6

16



不反感

6

8

14



合计

16

14

30



……………2分

设H0：反感“中国式过马路”与性别与否无关．

由已知数据得：
，

∴没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关． …………4分

(Ⅱ)X的可能取值为0，1，2．

P(X=0)=
，P(X=1)=
，P(X=2)=
． ………6分

∴X的分布列为：

X

0

1

2



P









∴X的数学期望为：E(X)=
． ……………10分