时量：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共8小题. 每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集
，
，
，则图中阴影部分表示的集合是
A．
B．

C．
D．

2．已知
，

为虚数单位，且
，则
的值为

A．
B．

C．
D．

3．执行右图所示的程序
框图，输出的S值为

A．
B．

C． 2 D．

4．
的最小正周期为
，且
，则

A．
在
单调递增 B．
在
单调递增

C．
在
单调递减
D．
在
单调递减

5．已知四棱锥
的三视图如图所示，则四棱锥
的四个侧面中的最大面

积是

A．

B．

C．

D．

6．双曲线
的渐近线与抛物线
的准线交于
、
两点，

为原点，若
的面积等于3 ，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．3 D．

7. 在
中，已知向量
，
，则
的

最大内角为

A.
B.
C.
D.

8. 若函数
和
的图象有且只有两个不同的公共点
、
，则下列判断正确的是

A．当
时，
，
B．当
时，
，

C．当
时，
，
D．当
时，
，

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．

9．某产品的广告费用
与销售额
的统计数据如下表：

广告费用
（万元）

3

4

5

6



销售额
（万元）

 25

 30

40

45[来源:学.科.网Z.X.X.K]



 根据上表可得回归方程
中的
为7，据此模型预报广告费用为10万元时销售额

为 （万元）

10. 在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（其中
为参数，
）．在极坐标系（以坐标原点O为极点，以
轴非负半轴为极轴）中，曲线
的极坐标方程为
．则曲线
与
交点间的距离为

11．设
，则二项式
的展开式中的常数项等于

12．正项等比数列
满足
（
），则

13．已知实数
、
满足
，则
的最小值为

14．若平面向量
，
满足
，
，且以向量
，
为邻边的平行四边形的面积为
，则
与
的夹角
的取值范围是

15．一艘轮船从O点的正东方向10km处出发，沿直线向O点的正北方向10km处的港口航行，某台风中心在点O，距中心不超过
km的位置都会受其影响，且
是区间
内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
．

（1）求角C的大小；

（2）若
，求证：
．

17．（本小题满分12分）

某工厂2013年第一季度生产的A，B，C，D四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品，参加7月份的一个展销会．

（1）问A，B，C，D型号的产品各抽取多少件？从50件样品中随机的抽取2件，求这两件产品恰好是不同型号的产品的概率；

（2）从A，C型号的产品中随机的抽取3件，用
表示抽取A种型号的产品件数，求
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

在四棱锥
中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB//CD，
，

E、F分别为PC、CD的中点．

（1）求证：CD⊥平面BEF；

（2）设
，且二面角
的度数大于30°，求k的取值范围．

19．（本小题满分13分）

已知公差不为0的等差数列
的首项
为
（
），设数列
的前n项和为
，[来源:学&科&网Z&X&X&K]

且
，
，
成等比数列.

（1）求数列
的通项公式及
；

（2）记
，
，当
时，试比较
与

的大小．

20． （本小题满分13分）

椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过左焦点
的直线
与椭圆相

交于A、B两点.

（1）如果点A在圆
（
为椭圆的半焦距）上，且
，求椭圆的离心率；

（2）若函数
的图象，无论
为何值时恒过定点
，求

的取值范围．

21．（本小题满分13分）

已知函数
，
（其中
）．

（1）求函数
的极值；

（2）若函数
在区间
内有两个零点，求a的取值范围；

（3）求证：当
时，
．（e是自然对数的底数，
2
．71828
）．

株洲市二中2012-2013年下学期高二年级期末考试

数 学（理科）答案

命题教师：李平凡 时量：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．

1．设全集
，
，
，则图中阴影部分表示的集合是 （ B ） A．
B．

C．
D．

2．已知
，
为虚数单位，且
，则
的值为 （ D ）

A．
B．

C．
D．

3．执行右图所示的程序框图，输出的S值为 （ C ）

A．
B．

C． 2 D．

4．
的最小正周期为
，且
，则

A．
在
单调递增 B．
在
单调递增 （ D ）

C．
在
单调递减 D．
在
单调递减

5．已知四棱锥
的三视图如图所示，则四棱锥
的四个侧面中的最大面

积是 （ A ）

A．

B．

C．

D．

6．双曲线
的渐近线与抛物线
的准线交于
、
两点，

为原点，若
的面积等于3 ，则双曲线的离心率为 （ B ）

A．
B．
C．3 D．

7. 在
中，已知向量
，
，则
的

最大内角为 （ A ）

A.
B.
C.
D.

8. 若函数
和
的
图象有且
只有两个不同的公共点
，
，则下列判断正确的是 （ A ）

A．当
时，
，
B．当
时，
，

C．当
时，
，
D．当
时，
，

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．

9．某产品的广告费用
与销售额
的统计数据如下表：

广告费用
（万元）

3

4

5

6



销售额
（万元）

 25

 30

40

45



 根据上表可得回归方程
中的
为7，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为 73.5 （万元）

10. 在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（其中
为参数，
）．在极坐标系（以坐标原点O为极点，以
轴非负半轴为极轴）中，曲线
的极坐标方程为
．则曲线
与
交点间的距离为 2

11．设
，则二项式
的展开式中的常数项等于 20

12．已知等比数列
满足
，且
（
），则

13．已知实数
、
满足
，则
的最小值为
．

14．若平面向量
，
满足
，
，且以向量
，
为邻边的平行四边形的面积为
，则
与
的夹角
的取值范围是

15．一艘轮船从O点的正东方向10km处出发，沿直线向O点的正北方向10km处的港口航行，某台风中心在点O，距中心不超过
km的位置都会受其影响，且
是区间
内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是
[来源:学科网ZXXK]

三、解答题：解答
应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

1
6．（本小题满分12分）

在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
．

（1）求角C的大小；

（2）若
，求证：
．

17．（本小题满分12分）

某工厂2011年第一季度生产的A，B，C
，D四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品，参加四月份的一个展销会．

（1）问A，B，C，D型号的产品各抽取多少件？从50件样品中随机的抽取2件，求这两件产品恰好是不同型号的产品的概率；

（2）从A，C型号的产品中随机的抽取3件，用ξ表示抽取A种型号的产品件数，求ξ的分布列和数学期望．

解析：（1）从条形图上可知，共生产产品有50＋100＋150＋200＝500(件)，样品比为
，

所以A，B，C，D四种型号的产品分别取

，

即样品中应抽取A产品10件，B产品20件，C产品5件，D产品15件． ……………3分

从50件产品中任
取2件共有
种方法，

2件恰为同一产品的方法数为
种，

所以2件恰好为不同型号的产品的概率为
． ………………6分

（2）
，
，
，[来源:学+科+网Z+X+X+K]

， ………………10分

所以ξ的分布列为

………………11分
．……12分

18．（本小题满分12分）

在四棱锥