仙游一中2012-2013学年度下学期期末考

高二理科数学试题参考答案

满分150分,答卷时间120分钟

一：选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.选项填在答题卷上。

1.复数
满足：
；则
（ D ）

A．
B．
C．
D．

2. 如果随机变量ξ～N（0，σ2），且P（－2＜ξ≤0）=0.4 ，则P（ξ>2）等于（ B ）

A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4

3.
的值等于 （ C ）

(B)
(C)
(D)

4．已知不等式
对任意正实数
恒成立，则正实数
的最小值为（ B ）．

A．
B．
C．
D．

5．曲线
（t为参数）上的点与A（-2，3）的距离为
，则该点坐标是（ B ）

A．（-4，5） B．（-3，4）或（-1，2） C．（-3，4） D．（-4，5）或（0，1）

6．
的展开式中，只有第6项的系数最大，则
的系数为（ A ）

A.45 B.50 C.55 D.60

7．下列说法：

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；

②设有一个回归方程
，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；

③线性回归方程
必过（
）；

其中错误的个数是 （ B ）

A．0 B．1 C．2 D．3

8.编号为A、B、C、D、E的五个小球放在如右图所示的五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A不能放1，2号，B必需放在与A相邻的盒子中，则不同的放法有（ C ）种

A．42 B．36 C．30 D．28

9．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为
，则函数
在
上为增函数的概率是 （ B ）

A．
B．
C．
D．

10．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a

A．f(x)g(x)>f(b)g(b) B．f(x)g(a)>f(a)g(x) C．f(x)g(b)>f(b)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(x)

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卷上。

11、已知圆
cos
与直线
cos

sin
a=0相切,则实数a的值是_____-8或2_______.

12. 某厂一批产品的合格率是98％，检验单位从中有放回地随机抽取10件，则计算抽出的10件产品中正品数的方差是 0.196 ．

13．．已知
，且

，那么
的展开式中的常数项为
.

14、已知函数
的定义域为[—2，
，部分对应值如下表，
为
的导函数， 函数
的图象如右图所示：

—2

0

4





1

—1

1





若正数
满足
，则
的取值范围是

15．如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如

下规则标上数字标签：原点处标数字O，点(1，0)处标数字1，点

（1，一1）处标数字2，点（O，-1）处标数字3，点（-1，-1）处

标数字4，点（-1，0）处标数字5，点（-1，1）处标数字6，

点(0，1)处标数字7，…以此类推，

①标数字50的格点的坐标为__（4,2）__．

②记格点坐标为(m，n)的点（m、n均为正整数）处所标的数字为f(m，n)，若n>m，则f（m，n）= __（2n＋1）2＋m－n－1__．

【解题思路】f（1,0）＝12，f（2,1）＝32，f（3,2）＝52，…，f（n＋1，n）＝（2n＋1）2．

∵n>m，∴n≥m－1，∴当n>m时，f（m，n）＝（2n＋1）2＋m－n－1．

三、解答题（本题16，18，21小题每题14分；19题12分；17，20小题每题13分，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. （本小题满分14分）（1）已知曲线
的极坐标方程为
；

（Ⅰ）若以极点为原点，极轴所在的直线为
轴，求曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若
是曲线
上的一个动点，求
的最大值

（2）已知a，b，c为实数，且

（I）求证：
（II）求实数m的取值范围。

16解：（1） （Ⅰ）
；………3分

（Ⅱ）设
，则
=
……6

当
时，
的最大值为
………7分

（2）（I）由柯西不等式得

即

当且仅当
取得等号，………………………4分

（II）由已知得

又

…………7分

17．（本小题满分13分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：

日销售量

1

1.5

2



频数

10

25

15



频率

0.2

a

b





（1）求表中
的值；

（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.

①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；

②已知每吨该商品的销售利润为2千元，
表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求
的分布列和期望。

18．解：(1 ) 求得
0.5
0.3. …… 2分

(2) ①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率

设5天中该种商品有
天的销售量为1.5吨，则
～B（5,0.5）

… 6分

②
的可能取值为4,5,6,7,8，则

，

，
……11分

的分布列:

4

5

6

7

8



p

0.04

0.2

0.37

0.3

0.09



… 12分

13分

18．（本小题满分14分）（1）已知函数
的最小值为
，实数

满足
.

（Ⅰ）求
的值； （Ⅱ）求证：
．

（2）已知在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（t为非零常数，
为参数），在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，直线
的方程为
.

（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；

（Ⅱ）是否存在实数
，使得直线
与曲线C有两个不同的公共点
、
，且
（其中
为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.

18. 解： （1）解：（Ⅰ）法一：
，

可得函数的最小值为2.故
.

法二：
，

当且仅当
时，等号成立，故
.

（Ⅱ）

即：

,故
.

（2）解：（Ⅰ）∵
，∴可将曲线C的方程化为普通方程：
. ……1分

①当
时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； ……2分

②当
时，曲线C为中心在原点的椭圆. ……3分

（Ⅱ）直线
的普通方程为：
. ……4分

联立直线与曲线的方程，消
得
，化简得
.

若直线
与曲线C有两个不同的公共点，则
，解得
.

又
……6分

故

.

解得
与
相矛盾. 故不存在满足题意的实数
. ……7分

19. （本小题满分12分）

19

20．（本小题满分13分）

某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数
，
（
，
），随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．

（Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；

（Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活 动收益的期望；

（Ⅲ）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．

20．解:（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有

共9个， ……………………2分

设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件
，

且事件
所包含的基本事件有
共2个，∴
. ………………4分

（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为
，

的可能取值为
. …………………………………5分

，
，

．

∴
的分布列为



900

9900













……………………………8分

∴
． ……………………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，购票者每人收益期望为
.

∵有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，

∴该机构此次收益期望为
元=
万元，

∵
，

∴该慈善机构此次募捐能达到预期目标. …… ……………………13分

21．（本小题满分14分）设函数

（I）若对定义域的任意
，都有
成立，求实数b的值；

（II）若函数
在定义域上是单调函数，求实数
的取值范围；

（III）若
，证明对任意的正整数n，不等式
都成立.

21．解：（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞).

对x∈( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1).

∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0.

解得b= - 4. -----------------------4分

（2）∵
.

又函数f(x)在定义域上是单调函数 ∴f/ (x) ≥0或f/(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.

若f/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立.

即b≥-2x2 -2x =
恒成立,由此得b≥
.

若f/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恒成立，

因-(2x2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值.

∴不存在实数b使f(x) ≤0恒成立. 综上所述，实数b的取值范围是
. -----------9分

（3）当b= - 1时，函数f(x) = x2 - ln(x+1)

令函数h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3.则h/(x) = - 3x2 +2x -
.

∴当
时，h/(x)＜0所以函数h(x)在
上是单调递减.

又h(0)=0，∴当
时，恒有h(x) ＜h(0)=0,

即x2 – ln(x+1) ＜x3恒成立.故当
时,有f(x) ＜x3.

∵
取
则有
＜
.

∴
. --------------14分