三、解答题

19．（本题6分）已知复数

，且
为实数，若复数
在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围．

20．（本题6分）已知
为正实数，求证：
．

21．（本题8分）设函数

，已知曲线
在点
处的切线方程是
．

（1）求
的值；

（2）求函数
在区间
的最大值．

22．（本题8分）已知函数

（1）若
，求的值；

（2）若函数
在
上为单调函数，求的取值范围．

23．（本题8分）已知函数
，
，
（
N
）．

（1）计算
的值，并猜想数列
的通项公式（不用证明）；

（2）试证明：对任意
N
，
，
，
不可能成等差数列．

24．（本题10分）已知函数
，
，其中
．

（1）令
，试讨论函数
的单调区间；

（2）若对任意的
，总有
成立，试求实数的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

嘉兴市2012—2013学年第二学期期末检测

高二文科数学（B）参考答案（2013.6）

一．选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分，请从A，B，C，D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分.）

1．D； 2．B； 3．D； 4．C； 5．B； 6．C；

7．B； 8．C； 9．C； 10．B； 11．A； 12．C．

二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分，请将答案写在答题卷上）

13．
　 14．
　 15．
　 16．

17．
　　 18．

三．解答题：（本大题有6小题，共46分，请将解答过程写在答题卷上．）

19．解：
=
为实数，所以
，所以
， 　　　　…2分

而

所对应的点在第一象限，

所以
， …4分

所以
. …6分

20．证明：因为
为正实数，

要证
，只要证
…2分

即证

即证

即证
，显然成立

所以原不等式成立. …6分

21．解：（1）
，
，

所以
.　　　　　　　…3分

（2）
，
　 …4分

令
，得
或
；

令
，得

所以
的递增区间为
，递减区间为
　 …6分

因为
，
，
，

所以
的最大值为2. …8分

22．解：（1）
，有已知，
，

所以
. …3分

若函数
在
上为单调函数，则在
上

有
恒成立，或
恒成立 …4分

即
，或
对x
恒成立，

因为
，

而当x
时，

，故
，　　　 …7分

所以
或
． 　　　　　

即的取值范围是
或
．　　　　　　　　　　　　 …8分

23．解：（1）
…4分

猜想

假设存在
Ｎ
，使得
，
，
成等差数列，

则
，即

所以
，该方程没有正整数解，所以假设不成立，

所以对任意
N
，
，
，
不可能成等差数列． …8分

24．解：（1）
,

① 当
时，
的递减区间为
，递增区间为
；

② 当
时，
的递增区间为
，递减区间为
；

③ 当
时，
的递增区间为
；

④ 当
时，
的递增区间为
，递减区间为
. …4分

对任意的
，总有
成立，

即

令
，

由题意得
在区间
上为增函数。 …6分

，对
恒成立，

所以
对
恒成立，

令
，

则
，

所以
在区间
上单调递减，

所以

，

所以
． …10分