昆明三中、昆明滇池中学2012—2013学年度下学期期末考试

高二数学(理科)

命题人：张林

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一.选择题：（本大题共12小题。每小题5分，共60分）

1. 已知集合
则A与B的关系是（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 若

是纯虚数，则实数
的值为（ ）

A.
B.0 C.1 D.

3. 在等差数列
中，
，则其公差
等于（ ）

A. 2 B. 4 C.
D.

4．若
、
表示直线，
表示平面，则下列命题中，正确的个数为（ ）

①
; ②
; ③
; ④

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5. 若
展开式中的第2项小于第1项，且第2项不小于第3项，则实数
的取值范围是（ ）

A.x>
B.

6. 如图是一个算法程序框图，当输入的
值为3时，输出的结果恰好是
，则空白框处的关系式可以是

A.

B.

C.

D.

7. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　 ）

A.

B.

C.

D.

8. 设
，
，
，则（　　）

Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

9. 设不等式组
( a > 0 ) 表示的平面区域为D, 若直线
将D的面积二等分，则
（ ）

A.
B.
C.1 D.2?

10. 已知
是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数
，则
=( )

A.
B.1 C.0 D.无法计算

11. 已知F是抛物线
的焦点，A，B是该抛物线上的两点，
，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）

A.
B.1 C.
D.

12. 已知函数
，则方程
的根的个数不可能是

A.3 B.4 C.5 D.6

昆明三中、昆明滇池中学2012—2013学年度下学期期末考试

高二数学(理科)

命题人：张林

第Ⅱ卷(共90分)

本卷包括必考题和选考题，第13题至第21题每个试题考生都必须作答，第22题至第24题为选做题.

二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 在
中，
，
，则

14. 若
，则
的最小值为

15. 若等比数列
满足
，则
的最小值为

16. 如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数

图象下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一个点M，则

点M取自E内的概率为

三．解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17. (本题满分12分) 在
中，角
、
、
的对边分别
、
、
，已知
，
，且
.

( I ) 求角
的大小；

( II ) 求
的面积.

18. (本题满分12分) 如图,三棱锥
中,

平面
，
,
,
为
的中点.

( I )求证:
平面
;

( II )求二面角
的余弦值.

19. (本题满分12分) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图，其中收看时间分组区间依次是：


,
.

将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

(I)求图中
的值；

(II)从“体育迷”中随机抽取
人，该
人中日均收看该类体育节目时间在区间
内的人数记为
，求
的数学期望
.

20. (本题满分12分) 已知椭圆E:
的离心率，直线
与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径做圆C，圆心为C.

(I)求椭圆E的方程；

(II)若圆C与y轴相交于不同的两点A、B，求△ABC的面积的最大值.

21. (本题满分12分)已知函数
.

(I)讨论函数
的单调性；

(II)若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为45°，函数
在区间
上总存在极值，求实数
的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任意选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22. (本题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲

如图，圆O的圆心O在Rt△ABC的直角边BC上，该圆与直角边AB相切，与斜边AC交于D，E，AD＝DE＝EC，AB＝
.

(I)求BC的长；

(II)求圆O的半径.

23．(本题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，已知点
的直角坐标为
，点
的极坐标为
，若直线
过点
，且倾斜角为
，圆
以
为 圆心、
为半径。

(I)写出直线
的参数方程和圆
的极坐标方程；

(II)试判定直线
和圆
的位置关系。

24. (本题满分10分) 选修4-5：不等式选讲

设函数

(I)若
，解不等式
；

(II)如果
，求a的取值范围。

昆明三中、昆明滇池中学2012—2013学年度下学期期末考试

高二数学(理科)参考答案

1.D 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.B 8.A 9.B 10.C 11.C 12. A

13.
14.
15.
16.

17.解：(Ⅰ)∵
.

∴

（舍）或
………………………4分

…………………………………6分

(Ⅱ)

又∵
，
∴

∴

. 即
.

18.证明 (1):

(2)方法一:过E作EF⊥BC,F为垂足.由已知得EF⊥面ABC,过F 作FM⊥AB,M为垂足,连接EM,则EM⊥AB(三垂线定理).所以∠EMF为二面角E-AB-C的平面角

在Rt
中,EF=2,FM=
,cos∠EMF=

方法二:以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz

B(0,0,0),C(4,0,0),A(4,4,0),P(0,0,4),E(2,0,2),则
,

平面ABC法向量为
;设平面ABE法向量为
.

则

.令z=1,得x=-1,y=1,.即

设二面角E-AB-C为
,则
=

19.

20. 解：(1)
(4分)

(2)当
时，△ABC有最大面积
(12分)

21.

（Ⅱ）∵
的图像在点
处的切线的倾斜角为45°，

∴
……………………………………7分

……………………………9分

,

要使函数
在区间（2，3）上总存在极值,只需

…………………………………………………12分

22.

23. 解：(I)直线
（t为参数），圆

(II)圆心到直线的距离
，故直线
与圆C相离.

24解：（I）

（II）
或