机密★启用前

昆明三中2012——2013学年下学期期末考试

高二文科数学试卷

命题人：庄少强

本试卷分第I卷（选择题，请答在机读卡上）和第II卷两部分，满分共150分，考试用时120分钟。

第I卷（选择题，共60分）

注意事项：

答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号在答题卡和试卷上填写清楚。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试卷上的答案无效。

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,6,9}，C＝{3,7,8}，则(A∩B)∪C等于(　　)

（A）{0,1,2,6,8}　　　 （B）{3,7,8} （C）{1,3,7,8} （D）{1,3,6,7,8}

2.
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3．命题“
，
”的否定是（ ）

（A）
，
（B）
，

（C）
，
（D）
，

4．若
是空间三条不同的直线，
是空间中不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）

（A）若
，
，则
（B）若
，
，则

（C）当
且
是
在
内的射影，若
，则

（D）当
且
时，若
，则

5．已知
为实数，条件p：
，条件q：

，则p是q的( )

（A）充要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分不必要条件 （D）既不充分也不必要条件

6．如下图，矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7．若
，

，则
与
的夹角是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8．
，
，
，则（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9. 若数列
的通项为
，则其前
项和
为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）

（A）向左平移
个单位 （B）向右平移
个单位

（C）向右平移
个单位 （D）向左平移
个单位

11. 某几何体的三视图如右图所示，则它的体积是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

12. 设圆锥曲线
的两个焦点分别为
、
，若曲线
上存在点
满足
：
：
=

4：3：2，则曲线
的离心率等于（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

机密★启用前

昆明三中2012——2013学年下学期期末考试

高二文科数学试卷

命题人：庄少强

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．用答案直接填空．

13. 等差数列
的前
项和为
，且
,
，则
．

14．已知
，
，则
的最小值是 ．

15．已知实数
、
满足
，则
的最大值是 ．

16．在正项等比数列
中，
为方程
的两根，则
等于

.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知点
，参数

，

点Q在曲线C：
上．

（Ⅰ）求点P的轨迹方程与曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）求点P与点Q之间的最小值．

18.（本小题满分12分）在△ABC中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，已知向量
，且
．

（Ⅰ） 求角A的大小；

（Ⅱ） 若

，
，求△ABC的面积．

19.（本小题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）
时，求函数
的定义域；

（Ⅱ）若关于
的不等式
的解集是R，求
的取值范围．

20. （本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．

（Ⅰ）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；

（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

21.（本小题满分12分）已知椭圆C：
的离心率为
，其中左焦点
．

（Ⅰ）求出椭圆C的方程；

（Ⅱ） 若直线
与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在圆
上，求m的值．

22．（本小题满分12分）已知函数
，在点
处的切线方程为
．

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）若对于区间
上任意两个自变量的值
，都有
，求实数
的最小值；

（Ⅲ）若过点
，可作曲线
的三条切线，求实数
的取值范围．

机密★启用前

昆明三中2012——2013学年下学期期末考试

高二文科数学试卷（答案）

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,6,9}，C＝{3,7,8}，则(A∩B)∪C等于(　　)

（A）{0,1,2,6,8}　　　 （B）{3,7,8} （C）{1,3,7,8} （D）{1,3,6,7,8}

【答案】C

2.
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

【解析】
，选D.

3．命题“
，
”的否定是（ ）

（A）
，
（B）
，

（C）
，
（D）
，

【答案】D

【解析】全称命题的否定是特称命题，所以原命题的否定为
，
，选D.

4．若
是空间三条不同的直线，
是空间中不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）

（A）若
，
，则
（B）若
，
，则

（C）当
且
是
在
内的射影，若
，则

（D）当
且
时，若
，则

【答案】D

【解析】D选项中，当
，若
共面，则有
，若
不共面，则
不成立，所以选D.

5．已知
为实数，条件p：
，条件q：

，则p是q的( )

（A）充要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分不必要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由
得
。由
得
。所以p是q的必要不充分条件，选B.

6．如下图，矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

【解析】由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为
所以选C.

7．若
，

，则
与
的夹角是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

【解析】因为
，所以
，即
，所以

，所以
，选A.

8．
，
，
，则（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

【解析】
,所以
，选C.

9. 若数列
的通项为
，则其前
项和
为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

【解析】法1：因为
,所以

。选D.

法2：使用特值法。因为
，所以
，此时B,
.

C，
不成立，排除。
。A,
,不成立，排除A,所以选D.

10．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）

（A）向左平移
个单位 （B）向右平移
个单位

（C）向右平移
个单位 （D）向左平移
个单位

【答案】A

【解析】
.

又
，所以只需要将
的图象向左平移
个单位，即可得到
的图象，选A.

11. 某几何体的三视图如右图所示，则它的体积是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】A

【解析】由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖去一个圆锥，正四棱柱的体积为
，圆锥的体积为
，所以该几何体的体积为
，选A.

12. 设圆锥曲线
的两个焦点分别为
、
，若曲线
上存在点
满足
：
：
=

4：3：2，则曲线
的离心率等于（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

【解析】因为
：
：
=4：3：2，所以设
，
，
。因为
，所以
。若曲线为椭圆，则有
即
，所以离心率
。若曲线为双曲线，则有
即
，所以离心率
，所以选D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．用答案直接填空．

13. 等差数列
的前
项和为
，且
,
，则
．

【答案】

【解析】在等差数列中，由
,
得，
，即
，解得
。所以
。

14．已知
，
，则
的最小值是 ．

【答案】9

【解析】
，当且仅当

即
，
时取等号，此时
，
取等号，此时最小值为9.

15．已知实数
、
满足
，则
的最大值是 ．

【答案】4

【解析】设
，则
，做出可行域

平移直线
，由图象可知
经过点B时，直线
的截距最大，此时
最大。由
，得
，即
，代入直线
得
，所以
的最大值是4.

16．在正项等比数列
中，
为方程
的两根，则
等于

.

【答案】64

【解析】由题意知
，在正项等比数列中，
，所以
，所以
。

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知点
，参数

，

点Q在曲线C：
上．

（Ⅰ）求点P的轨迹方程与曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）求点P与点Q之间的最小值．

【解析】（1）由

得点P的轨迹方程

又由

曲线C的直角坐标方程为
。

（2）半圆
的圆心（1，0）到直线
的距离为
，

所以

18.（本小题满分12分）在△ABC中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，已知向量
，且
．

（Ⅰ） 求角A的大小；

（Ⅱ） 若

，
，求△ABC的面积．

【解析】（Ⅰ）

即

由正弦定理可得

整理得

（II）由余弦定理可得

即

故

19.（本小题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）
时，求函数
的定义域；

（Ⅱ）若关于
的不等式
的解集是R，求
的取值范围．

【解析】（Ⅰ）由题设知：

则有：

解得函数
的定义域为
．

（Ⅱ）不等式

，

∴


即
的取值范围是
．

20. （本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．

（Ⅰ）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；

（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

【解析】（Ⅰ）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，

连接FH，则

，∴

，

∴四边形ABFH是平行四边形，∴
，

由
平面ACD内，
平面ACD，
平面ACD；

（Ⅱ）取AD中点G，连接CG..

AB
平面ACD, ∴CG
AB

又CG
AD ∴CG
平面ABED, 即CG为四棱锥的高， CG=

∴
=



2

=
.

21.（本小题满分12分）已知椭圆C：
的离心率为
，其中左焦点
．

（Ⅰ）求出椭圆C的方程；

（Ⅱ） 若直线
与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在圆
上，求m的值．

【解析】（Ⅰ）由题意得，
，
, 解得：

所以椭圆C的方程为：

（Ⅱ）设点A,B的坐标分别为
，
，线段AB的中点为M
，

由
，消去y得

点 M
在圆
上，

22．（本小题满分12分）已知函数
，在点
处的切线方程为
．

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）若对于区间
上任意两个自变量的值
，都有
，求实数
的最小值；

（Ⅲ）若过点
，可作曲线
的三条切线，求实数
的取值范围．

【解析】（Ⅰ）

根据题意，得
即

解得

（Ⅱ）令

，解得

f(-1)=2, f(1)=-2，

时，

则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值
，都有

所以
所以
的最小值为4。

（Ⅲ）设切点为

，
切线的斜率为

则

即
，

因为过点
，可作曲线
的三条切线

所以方程
有三个不同的实数解

即函数
有三个不同的零点，

则

令



0

（0，2）

2

（2，+∞）





+

0

—

0

+







极大值



极小值







即
，∴