2012/2013学年度高二年级第二学期期终考试

数学（理）试题

注意事项：

　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．

　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．

4．第19、20题，请四星高中学生选做（A）,三星高中与普通高中学生选做（B），否则不给分.

参考公式：

样本数据
，
，
，
的方差
（
为样本平均数）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．
，
的否定是 ▲ ．

2．已知复数
满足
（其中i为虚数单位），则
= ▲ ．

3．某校对全校1000名男女学生进行课外阅读情况调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了80人，则该校的男生数为 ▲ ．

4．已知向量
，
，若
，则
▲ ．

5．有6件产品，其中有2件次品，从中任选2件，恰有1件次品的概率为 ▲ ．

6．甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：

品种

第1年

第2年

第3年

第4年



甲

9.8

9.9

10.2

10.1



乙

9.7

10

10

10.3





其中产量比较稳定的水稻品种是 ▲ ．

7．若双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离等

于
，则该双曲线的离心率为 ▲ ．

8．执行右边的程序框图,若
，则输出的
▲ ．

9．观察下列不等式：

，

由此猜想第
个不等式为 ▲ ．

10．若
，则
的值为 ▲ ．

11．某停车场内有序号为1,2,3,4,5的五个车位顺次排成一排，现在
四辆车需要停放，若
两车停放的位置必须相邻，则停放方式种数为 ▲ ．（用数字作答）

12．若函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

13．已知
的三个顶点都在抛物线
上，且斜边
∥
轴，则斜边上的高等于 ▲ ．

14．已知曲线
：
，直线
：
，在曲线
上有一个动点
，过点
分别作直线
和
轴的垂线，垂足分别为
.再过点
作曲线
的切线，分别与直线
和
轴相交于点
，
是坐标原点.则
与
的面积之比为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在棱长为
的正方体
中,
分别为
的中点.

(1)求直线
与
所成角的余弦值;

(2)求二面角
的余弦值.

16．（本小题满分14分）

由于生产条件的影响，生产某种产品正品的概率为
，次品的概率分别为
.已知生产1件正品获得的利润为6万元，而生产1件次品则亏损2万元.

（1）求生产３件产品恰有2件正品的概率；

（2）设2件产品的利润和（单位：万元）为
，求
的分布列和数学期望．

17．（本小题满分14分）

已知
，
.

(1) 若
，求
中含
项的系数；

(2) 若
是
展开式中所有无理项的系数和，数列
是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：

.

18．（本小题满分16分）

为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域
（
米，
米）内修建一座过街天桥，天桥的高
与
均为
米，
，
的造价均为每米1万元，
的造价为每米2万元，设
与
所成的角为
，天桥的总造价（由
五段构成，
与
忽略不计）为
万元．

（1）试用
表示
的长；

（2）求
关于
的函数关系式；

（3）求
的最小值及相应的角
．

19．（本小题满分16分）

（A）（四星高中学生做）

已知椭圆E：
上任意一点到两焦点距离之和为
，离心率为
，左、右焦点分别为
，点
是右准线上任意一点，过
作直线
的垂线
交椭圆于
点．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）证明：直线
与直线
的斜率之积是定值；

（3）点P的纵坐标为
，过
作动直线
与椭圆交于两个

不同点M、N，在线段MN上取点
，满足
，

试证明点
恒在一定直线上．

（B）（三星高中及普通高中学生做）

已知椭圆E：
上任意一点到两焦点距离之和为
，离心率为
，左、右焦点分别为
，点
是右准线上任意一点，过
作直线
的垂线
交椭圆于
点．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）证明：直线
与直线
的斜率之积是定值；

（3）证明：直线
与椭圆E只有一个公共点．

20．（本小题满分16分）

（A）（四星高中学生做）

设函数
，
．

(1)记
，若
，求
的单调递增区间；

(2)记
为
的导函数，若不等式
在
上有解，求实数
的取值范围；

(3)若在
上存在一点
，使得
成立，求
的取值范围.

（B）（三星高中及普通高中学生做）

设函数
，
．

(1)记
，若
，求
的单调递增区间；

(2)记
为
的导函数，若不等式
在
上有解，求实数
的取值范围；

(3)若
，对任意的
，不等式
恒成立．求
的值.

2012/2013学年度高二年级第二学期期终考试数学（理）答案

一、填空题：每小题5分，共计70分.

1．
2．
3．600 4．0或2 5．
6．甲

7．
8．5 9．
10．
（或128） 11．48 12．

13．
14．8

二、解答题：本大题共6小题,共计90分.

15．解：（1）建立坐标系.
,
,
,

，

所以
，

故直线
与
所成角的余弦值为
.…………………………………………………… 7分

（2）平面
的一个法向量为
设平面
的一个法向量为
,因为
,
所以
,令
,则

由图知二面角
为锐二面角, 其余弦值为
. ………………………………… 14分

16．解：（１）设X为生产3件产品中正品的个数，则Ｘ服从二项分布（３，
），

所以Ｐ（Ｘ＝2）＝
＝
；………………………………………………………… 6分

（２）
的取值有１２、４、－４.

则Ｐ（Ｘ＝１２）＝
，

Ｐ（Ｘ＝４）＝
，

Ｐ（Ｘ＝－４）＝
，

Ｅ（
）＝１２

＋４

－４

＝10（万元）. ……………………………… 14分

17(1) 解：g(x)中含x2项的系数为C＋2C＋3C＝1＋10＋45＝56…………… 7分

(2) 证明：由题意，pn＝2n－1.

① 当n＝1时，p1(a1＋1)＝a1＋1，成立；…………………………………………… 9分

② 假设当n＝k时，
成立，

当n＝k＋1时，

又因为

所以

所以
时，

综合①②可知，
…………………………… 14分

18．解：（1）由题意可知
，故有
，所以在
中
……………………………………………………………………………………6分

（2）

．………………………………………………………………… 11分

（3）设
（其中
，

则
．

令
得
，即
，得
．

列表











+

0

-





单调递增

极大值

单调递减



所以当
时有
，此时有
．

答：排管的最小费用为
万元，相应的角
．…………………………… 16分

19．解：（1）由题，
，又因为
从而得
，

所以椭圆E：
……………………………………………………………………… 4分

(2)设
，
，

因为
，所以
，

所以

又因为
且
代入化简得
……10分

（A）（四星高中学生做）

(3)设过P的直线l与椭圆交于两个不同点
，点
，

则
，
．

∵
，∴设
，则
，

∴
，

整理得
，
，

∴从而
，

∴
，

所以点
恒在直线
上．………………………………………………… 16分

（B）（三星高中及普通高中学生做）

解：（1）（2）同（A）

(3)由(2)知，直线
的方程为
，即
，

由
得
，化简得:
，

解得