2012-2013学年度第二学期高二期末调研测试

数 学 （理科）试 题Ⅰ

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

2013．06

注意事项：

答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．函数
的最小正周期是 ▲ ．

2．复数
的虚部是 ▲ ．

3．直三棱柱
中，若
， 则
▲ ．

4．
中，“
”是“
”的 ▲ 条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．

5．幂函数
过点
，则
▲ ．

6．五名同学站成一排，甲不站在正中间，则不同的站法有▲ （用数字作答）．

7．如果复数
满足
，那么
的最大值是 ▲ ．

8．函数
的单调递增区间是 ▲ ．

9．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是
，遇到红灯时停留的时间都是2 min．，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间恰好是4min的概率 ▲ ．

10．若

则
▲ ．

11．E，F是等腰直角△ABC斜边BC上的四等分点，则
= ▲ ．

12．函数

，
，

在
上的部分图象如图所示，则
▲ ．

13．已知函数y=f(x)(x∈(0，2))的图象是如图所示的圆C的一段圆弧．现给出如下命题：

①
；②
；③
为减函数；

④若
，则a+b=2．

其中所有正确命题的序号为 ▲ ．

14．有
个小球，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将其中一堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都任选一堆，将这堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为止，则所有乘积的和为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

已知
是锐角，
．求
的值．

16．（本小题满分14分）

已知函数
，
．

（1）若
，求证：函数
是
上的奇函数；

（2）若函数
在区间
没有零点，求实数
的取值范围．

17．（本小题满分14分）

已知命题：“
，使等式
成立”是真命题，

（1）求实数m的取值集合M；

（2）设不等式
的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．

18．（本小题满分16分）

设函数
的定义域为
，值域为
．

（1）若
，判断实数
与集合
的关系
；

（2）若
，
，求实数
的值．

（3）若
，
，求
的值．

19．（本小题满分16分）

阅读下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得
------③

令
有

代入③得
．

(1) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

;

(2)若
的三个内角
满足
,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断
的形状．

20．（本小题满分16分）

已知函数

（1）讨论函数
的单调性；

（2）若
时，关于
的方程
有唯一解，求
的值；

（3）当
时，证明: 对一切
，都有
成立．

2012-2013学年度第二学期高二期末调研测试

数 学 （理科）试 题Ⅱ

（全卷满分40分，考试时间30分钟） 2013．06

21、已知
的展开式中第3项与第2项系数的比是4，

（1）求n的值；

（2）展开式里所有x的有理项

22、一个盒子里装有3张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4；另一个盒子也装有3张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量
，

（1）求事件
发生的概率

（2）求
的分布列和数学期望．

23、已知数列
满足
，且

(
)．

⑴求
的值，并猜想
的通项公式；

⑵用数学归纳法证明你的猜想．

24、已知边长为6的正方体
，
为
上靠近
的三等分点，
为
上靠近
的三等分点，
是
的中点．

（1）求
与平面
所成角的正弦值；

（2）设点
在线段
上，且
，试确定

的值，使得二面角
的余弦值为
．

2013年6月高二期末调研测试

理 科 数 学 试 题 参 考 答 案

数学Ⅰ试题参考答案与评分标准

一、填空题：

1．
2．
3．－
+
－
4．充分不必要 5．2 6．96 7．
8．
（写成开区间算对）9．
10．
11．
12．
13．①③④ 14．

二、解答题：

15．
………………………………………7分

………………………………………14分

16．解： （1 ）定义域为
关于原点对称．因为

，

所以函数
是定义在
上的奇函数

（2）

是实数集
上的单调递减函数（不说明单调性扣2分）又函数
的图象不间断，在区间
恰有一个零点，有

即
解之得
，故函数
在区间
没有零点时，实数
的取值范围是
或
………………………………………14分

17． 解：（1）已知命题：“
x∈{x|–1< x <1}，使等式x2–x–m = 0成立”是真命题，得f(x)= x2–x–m = 0在（-1，1）有解，

由对称轴x=
，则
，

得

． ……………7分

（2）不等式

①当a>2-a,即a>1时解集N为（2-a,a），若x∈N是x∈M的必要条件，

则M
N,a的取值范围
．

②当2-a > a,即a<1时解集N为（a ,2-a），若x∈N是x∈M的必要条件，则M
N,a的取值范围
．

． ………14分

18．解:（1）∵
，∴当
时，
；当
时，

．∵
，∴
．………5分

（2）令
，即
，
，取
；令
，即
，
，取
，故
．………………………………………………………………9分

（3）∵
是偶函数，且
，则函数
在
上是减函数，在
上是增函数．∵
，∴由题意可知：
或
．若
，则有
，即
，整理得
，此时方程组无解；若
，则有
，即
，∴
为方程
，的两个根．∵
，∴
，∴
，
．……………16分

19． 解： (1)证明:因为
，------①

②

①-② 得
③…

令
有
，

代入③得
．………………8分

（2）由
得：
．由（1）中结论得：
．所以
，即：
，又
为
的三个内角，故
，所以
是直角三角形．……………………………16分

20． 解：（1）由已知得x＞0且
．

当k是奇数时，
，则f(x)在(0,+
)上是增函数;

当k是偶数时，则
．　

所以当x

时，
，当x

时，
．

故当k是偶数时，f (x)在
上是减函数，在
上是增函数．…………4分

（2）若
，则
．

记

,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解； 令
,得
．因为
，所以
（舍去），
． 当
时，
，
在
是单调递减函数；

当
时，
，
在
上是单调递增函数．

当x=x2时,
，
． 因为
有唯一解，所以
．

则
即
设函数
，

因为在x>0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解．

因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得
…………10分

另解:
即
有唯一解,所以:
,令
,则
,设
，显然
是增函数且
，所以当
时
，当
时
，于是
时
有唯一的最小值，所以
，综上：
．

（3）当
时， 问题等价于证明

由导数可求
的最小值是
，当且仅当
时取到，

设
，则
，

易得
，当且仅当
时取到，

从而对一切
，都有
成立．故命题成立．…………16分

数学Ⅱ试题参考答案与评分标准

21、解：（1）由题设，得
，