汶上一中2012—2013学年高二下学期期末综合练习

数学（理）

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.设集合
，则A∩B等于 ( )

A.
B.
C.
D.

2.x2－3x+2≠0是x≠1的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3.是虚数单位，计算
（ ）

A. －1 B. 1 C.
D. 4. 定义在R上的偶函数
，在
上是增函数，则 （ 　）

A．
B ．

C．
D ．

5．设曲线
在点（1，）处的切线与直线
平行，则
（ ）

A．1 B．
C．
D．

6．设函数
在
上均可导，且
，则当
时，有（ ）A．
B．

C.
D．

7．设变量
满足约束条件
，则目标函数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

8．已知
为等差数列，
。以
表示
的前项和，则使
达到最大值的是（ ）

A.21 B.20 C.19 D.18

9．双曲线的左右焦点分别为
，且
恰为抛物线
的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若
是以
为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为( )

A.
B.
C.
D.

10．已知函数
,其中
表示不超过实数的最大整数,如
．若关于的方程
有三个不同的实根，则实数
的取值范围是( )

A.
B.

C.
D.

11．已知函数
，定义函数
给出下列命题：

①
； ②函数
是奇函数；③当
时，若
，总有
成立，其中所有正确命题的序号是（ ）

A．② 　 B．①② 　C．③ D．②③

12．点是棱长为1的正方体
的底面
上一点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．直线
与曲线
的公共点的个数为___

14. 如右图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O，

弦 CD 交 PA 于点F，且△COF∽△PDF，

PB = OA = 2，则PF = .

15.若复数
对应的点在直线
上，则实数的值是

16. 已知F1、F2是椭圆C：
的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1PF2，若ΔP F1 F2的面积为9，则b=________。

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17. （本小题满分10分）

已知函数
的图象过点P（0，2），且在点M（－1，
）处的切线方程
。

（1）求函数
的解析式；

（2）求函数
与
的图像有三个交点，求的取值范围。

18．（本小题满分12分）

已知函数
，其中
。

（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）求
在区间
上的最大值。

19. （本小题满分12分）

设有两个命题．命题p：不等式
的解集是
；

命题q：函数
在定义域内是增函数．

如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．

20．（本小题满分12分）

已知函数
,点
为一定点,直线
分别与函数
的图象和轴交于点
, ,记
的面积为
.

（1）当
时,求函数
的单调区间；

（2）当
时, 若
,使得
, 求实数的取值范围.

21．（本小题满分12分）

已知椭圆

的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为
的菱形的四个顶点.

（1）求椭圆
的方程；

（2）直线与椭圆
交于，两点，且线段
的垂直平分线经过点
，求

（为原点）面积的最大值.

22．（本小题满分12分）当在实数集R上任取值时，函数
相应的值等于
、2 、
三个之中最大的那个值．

（1）求
与
；（2分）

（2）画出
的图象，写出
的解析式；（6分）

（3）证明
是偶函数；（3分）

（4）写出
的值域．（2分）

参考答案:

1-5 ABACA 6-10 CABBB 11-12 DD

13．3 14.
…
…
，且

15．4 16.3

17.解：（1）由
的图象经过点P（0，2），知
。

所以
，则

由在
处的切线方程是
知
，即
。所以
即
解得
。

故所求的解析式是
。

（2）因为函数
与
的图像有三个交点

所以
有三个根

即
有三个根

令
，则
的图像与
图像有三个交点。

接下来求
的极大值与极小值（表略）。

的极大值为

的极小值为

因此

18. （1）当
时，
，则

，又因为

所以切线方程为
，即

（2）

当
时，
，所以
在
上单调递增，

当
时，令
，得

1.当
时，
在
上单调递增，

2.当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，比较
与
的大小。令

3.当
时，
在
上单调递减，

综上，

19. 解;
即

又p∧q为假命题，p∨q为真命题

20解: (1) 因为
，其中

当
，
，其中

当
时，
，
，

所以
，所以
在
上递增，

当
时，
，
，

令
， 解得
，所以
在
上递增

令
， 解得
，所以
在
上递减

综上，
的单调递增区间为
，

的单调递增区间为

（2）因为
，其中

当
，
时，

因为
，使得
，所以
在
上的最大值一定大于等于

，令
，得

当
时，即
时

对
成立，
单调递增

所以当
时，
取得最大值

令
，解得
，

所以

当
时，即
时

对
成立，
单调递增

对
成立，
单调递减

所以当
时，
取得最大值

令
，解得

所以
综上所述，

21.(1)因为椭圆

的四个顶点恰好是一边长为2，

一内角为
的菱形的四个顶点,

所以
,椭圆
的方程为

(2)设
因为
的垂直平分线通过点
， 显然直线
有斜率，

当直线
的斜率为时,则
的垂直平分线为轴,则

所以

因为
，

所以
，当且仅当
时，
取得最大值为

当直线
的斜率不为时,则设
的方程为

所以
，代入得到

当
, 即

方程有两个不同的解

又
，

所以
，

又
，化简得到

代入
，得到

又原点到直线的距离为

所以

化简得到

因为
，所以当
时，即
时，
取得最大值

综上，
面积的最大值为

22.(1)
,
．

（2）

(3)当
时，
，所以
，有
；

当
时，
，所以
，有
；

当
时，
．

综上所述，对定义域中任意一个自变量都有
成立．

所以
是偶函数．

(4)函数的值域为：