2013高二理科数学暑假作业(三)

一、选择题

1．设集合U={0，l，2，3，4，5，6}，M ={l，3，5}，N={2，4，6}，则（
）
（
）﹦

A．{0} B．{1,3,5} C.{2,4,6} D．{0,1,2,3,4,5,6}

2.如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数

图象下方的点构成的区域（阴影部分）.向D中随机

投一点，则该点落入E中的概率为

(A)
(B)
(C)
(D)

3．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为

A．17 B．16 C．10 D．9

4.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是

A.1

B.2

C.3

D.4

5.在
中，
，

则此三角形的外接圆的面积为 （ ）

A．
B．

C．
D．

6.已知方程
的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线．一抛物线的离心率，则
的取值范围是（ ）

7.已知A，B，C，D是函数
一个周期内的图象上的四个点，如图所示，
B为
轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，
在
轴上的投影为
，则
的值为

Ａ．
B．
Ｃ．
D．

8.各项为正的等比数列
中，
与
的等比中项为
，则
的最小值为（ ）

A．16 B．8 C．
D．4

9.已知x,y满足条件
（k为常数），若目标函数
的最大值为8，则k=

A.
B.
C.
D.6

10.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于
，则抛物线的方程为

A．y2=4x B．y2=8x C．x2=4y D．x2=8y

11设正实数x,y,z x2-3xy+4y2-z=0.则当
取得最大值时，
为? （

A）0???? （B）1?? （C）
???（D）3?

12.若函数
的导函数在区间
上是增函数，则函数
在区间
上的图象可能是（ ）

二、填空题

13．已知
且满足
,则
的最小值为

14．某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如右图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则在80～90分数段应抽取人数为 。

15.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中
米，
米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形
内截取一个矩形块
，使点
在边
上. 则矩形
面积的最大值为____ 平方米 .

16.定义“正对数”：
，现有四个命题：

①若
，则

②若
，则

③若
，则

④若
，则

其中的真命题有： （写出所有真命题的编号）

三、解答题

17.已知函数
（
）在一个周期上的一系列对应值如下表：

X

…



0









…



y

…

0

1



0

-1

0

…



(Ⅰ) 求f(x)的解析式；

(Ⅱ）在△ABC中，AC=2,BC=3,A为锐角，且
,求△ABC的面积.

18. 已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△
，使得平面
⊥平面ABD．

（Ⅰ）求证：
平面ABD；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

19.定义：设
分别为曲线
和
上的点，把
两点距离的最小值称为曲线
到
的距离．

（1）求曲线
到直线
的距离；

（2）已知曲线
到直线
的距离为
，求实数
的值；

（3）求圆
到曲线
的距离．

20.已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，
=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

2013高二理科数学暑假作业（三）参考答案

一、选择题

1-5 DCCBC 6-10 CABBB 11-12 BA

二、填空题

13. 18 14. 20 16. ①③④

三、解答题

17.解：(Ⅰ)

（Ⅱ）

18.证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，

沿直线BD将△BCD翻折成△

可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，

即
，

故
． ………………2分

∵平面
⊥平面
，平面

平面
=
，
平面
，

∴
平面
． ………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
平面ABD，且
，

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系
． ………………5分

则
，
，
，
．

∵E是线段AD的中点，

∴
，
．

在平面
中，
，
，

设平面
法向量为
，

∴
，即
，

令
，得
，故
． ………………8分

设直线
与平面
所成角为
，则

． ………………8分

∴ 直线
与平面
所成角的正弦值为
． ………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面
的法向量为
，

而平面
的法向量为
，

∴
，

因为二面角
为锐角，

所以二面角
的余弦值为
．

19.解 （1）设曲线
的点
，则
，所以曲线
到直线
的距离为
．

（2）由题意，得
，
．

（3）因为
，所以曲线
是中心在
的双曲线的一支．

如图，由图形的对称性知，当
、
是直线
和圆、双曲线的交点时，
有最小值．此时，解方程组得
，于是
，所以圆
到曲线
的距离为
．

另解 令
，

，当且仅当
时等号成立．（相应给分）

20.(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为
，由已知得

，

所以椭圆
的标准方程为

（2）设
，其中
。由已知
及点
在椭圆
上可得

。

整理得
，其中
。

（i）
时。化简得

所以点
的轨迹方程为
，轨迹是两条平行于
轴的线段。

（ii）
时，方程变形为
，其中

当
时，点
的轨迹为中心在原点、实轴在
轴上的双曲线满足
的部分。

当
时，点
的轨迹为中心在原点、长轴在
轴上的椭圆满足
的部分；

当
时，点
的轨迹为中心在原点、长轴在
轴上的椭圆；