柳州铁一中2012-2013学年第二学期高二第二次月考

理科数学

本试卷分第I卷和第II卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

第I卷（共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数
的值等于 ( )

A.
B.
C.
D.

2. 设集合
，
，若
，则
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

3．下列函数中，在区间（0,1）上为增函数的是 ( )

A.
B.
C.
D.

4．曲线y=
x3-x2+5在x=1处的切线的倾斜角是 ( )

A.
B.
C.
D.

5．设
是等差数列
的前
项和，若
，则
( )

A．
B．
C．
D．

6．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin)等于 ( )

A.  B.－ C.－ D. 

7.已知函数
在点x=2处连续，则常数a的值是 ( )

A.2 B.3 C.4 D.5

8．7人坐成一排，若只改变其中3人的位置，其他4人的位置不变，则不同的改变方法共有 ( )

A．210种 B．126种 C．70种 D．35种

9．若M是△ABC的重心，则下列向量中与共线的是 ( )

A. ＋＋ B. ＋＋

C. ＋ - D.3 -

10．若双曲线
（a＞0,b＞0）上横坐标为
的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 ( )

A．(1,2) B．(2,+
) C．(1,5) D．(5,+
)

11．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为 ( )

A．16（12－6
B．18

C．36
D．64（6－4

12.己知关于x的方程
的两根分别为椭圆和双曲线的离心率.记分别以m、n为横纵坐标的点P(m，n)表示的平面区域为D,若函数
的图象上存在区域D上的点,则实数a的取值范围为 ( )

A.
B.
C.
D.

第II 卷(共90分)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．
展开式中的常数项为 .（结果用数字表示）

14．函数
的定义域是________.（结果用集合形式表示）

15．过抛物线
焦点F的直线与抛物线交于P、Q，由P、Q分别引其准线的垂线PH1、QH2垂足分别为H1、H2，H1H2的中点为M，记|PF|=a，|QF|=b，则|MF|=

.

16．AB垂直于
所在的平面，
，当
的面积最大时，点A到直线CD的距离为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本题满分10分）

在
中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知它的周长为
，且
．

（1）求c边的长；

（2）若
的面积为
，求角
的度数．

18．(本题满分12分)

广西从今年秋学期开始进行高中新课程教学改革，八月份在南宁举行一次数学新课程研讨会，共邀请全区四城市50名一线教师参加，来自全区四城市的教师人数如下表所示：

城市

南宁市

柳州市

梧州市

桂林市



人数

20

15

5

10



 (1) 从这50名教师中随机选出2名，求2人来自同一城市的概率；

(2) 若指定从南宁市或柳州市中随机选出2名教师发言，设发言人来自南宁市的教师人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望.

19.（本题满分12分）

如图，在三棱柱
中，侧面
，
均为正方形，
,点
是棱
的中点.

（1）求证：
⊥平面
；

（2）求二面角
的余弦值.

20.（本题满分12分）.

设函数
.

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）设函数
对任意
都有
成立，求实数
的取值范围.

21.（本题满分12分）

点A、B分别是椭圆
长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于
轴上方，
。

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于
，求椭圆上的点到点M的距离
的最小值。

22．（本题满分12分）

已知函数
的导函数
,数列
的前
项和为
,点
均在函数
的图象上.

(1)求数列
的通项公式及
的最大值;

(2)令
,其中
,求
的前
项和.

2011级第二次月考理科数学答案

一.选择题（每小题5分，共60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

C

C

A

D

C

B

C

D

B

C

A



二. 填空题(每小题5分, 共20分)

13. 15 14.
15.
16.

三. 解答题(共90分)

17. 解：（1）由
及正弦定理，得

，又
…………………4分

………………………5分

（2）由
又

，又
……7分

由
………….9分

…………………………………………………..10分

18. 解：(1)从50名教师随机选出2名的方法数为
，……. 2分

选出2人来自同一城市的方法数为
，……4分

故2人来自同一城市的概率为
. …………………5分

(2)
的所有可能取值为0，1，2.

， ……………………………………6分

， ……………………………… .7分

……………………………………… 8分

∴
的分布列为

0

1

2



P











………………10分

…………………….12分

19. 解.（1）证明：因为侧面
，
均为正方形，

所以
,

所以
平面
，三棱柱
是直三棱柱. 　　

因为
平面
，所以
，…………………3分　　　　　　　　　

又因为
，
为
中点，

所以
. …………5分

因为
,

所以
平面
. ----（5分）

(2)解： 因为侧面
，
均为正方形，
，

所以
两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系
……6分

设
，则
.

，………………………………………8分

设平面
的法向量为
，则有

，
，
，

取
，得
. ………………………………………9分

又因为
，
平面
，…………11分

所以平面
的法向量为
，因为二面角
是钝角.所以，二面角
的余弦值为
. -------------（12分）

20.解：（1）当p =1时，
，其定义域为
.

所以
.…………2分

由
得
，

所以
的单调增区间为
；单调减区间为
.…………5分

（2）由函数
,得
.

由（1）知，当p =1时，
，

即不等式
成立. …………7分

当
时，
，

即g(x)在
上单调递减，从而
满足题意； …………9分

当
时，存在
使得
，

从而
，即g(x)在
上单调递增，

从而存在
使得
不满足题意；

③当
时，由
知
恒成立，此时不满足题意.

综上所述，实数p的取值范围为
. …………12分

21. 解.（1）由已知可得点A(－6,0),F(4,0)

设点P(
,
),则
=（
+6,
）,
=（
－4,
）,由已知可得

……………………………4分

则2
+9
－18=0,
=
或
=－6. 由于
>0,只能
=
,于是
=
.

∴点P的坐标是(
,
)……………………………..6分

(2) 直线AP的方程是
－

+6=0.

设点M(
,0),则M到直线AP的距离是
. 于是
=
,又

－6≤
≤6,解得
=2……………………………………………..8分

椭圆上的点(
,
)到点M的距离
有

,……10分

由于－6≤X≤6, ∴当
=
时,d取得最小值
……………..12分

22.解:(1)

,

由
得:
,所以
…………2分

又因为点
均在函数
的图象上,所以有

当
时,
……………………………………………3分

当
时,
，

令
得
,
当
或
时,
取得最大值
………5分

综上,
,当
或
时,
取得最大值
…………6分

(2)由题意得

所以
,即数列
是首项为
,公比是
的等比数列…………7分

故
的前
项和
………………①

…………②..........9分

所以①
②得：
…………………11分

…………………12分