柳州铁一中学2012--2013学年第二学期高二年级

数学（文科）试卷

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。）

1.设集合
，集合
，则
为（ 　）

A．
B．
C.
D．

2.已知条件
,条件
，且
是
的充分不必要条件，则
的取值范围量（ ）

A.
B.
C.
D.

3．某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ ）

A．
B.
C.
D.

4.设函数
，集合
，判断
在
上的奇偶性为（ ）

A．非奇非偶函数 B．奇函数 C．偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

5．将函数
的图象向左平移
个单位后得到一个奇函数的图像，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

6．在等差数列
中，设
为其前
项和，已知
，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

7.为使关于x的不等式
的解集在R上为空集，则
的取值范围是（　　）

A．(-1, 2) B．(－2, 1) C．(1, 2) D．(－∞, －2)

8．在长方体ABCD-
中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为（　）

A．
　　 B．
C．
　D．

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
，若
，则A=（ 　）

A．
B．
或
C．
或
D．

10. 已知函数
的反函数为
则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．1

11.对于
，抛物线
与
轴相交于
两点，以
表示该两点间的距离，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

12.若偶函数
满足
，且当
时，
，则函数
的零点个数为（ ）

A.7 B.8 C.9 D.10

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

　二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上）

13.某市有
三所学校共有高三文科学生1500人，且
三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从
校学生中抽取 人.

14.若
,且
,则
.

15．设函数
在
上的导函数为
，
在
上的导函数为
，若在
上，
恒成立，则称函数
在
上为“凸函数”．已知
为区间
上的“凸函数”，则实数
的值为 ．

16.直三棱柱
的各个顶点都在同一球面上.若AB=AC=
=2,∠BAC=
,则此球的表面积等于___________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分10分）

已知等差数列
中，
，公差
，且
分别是等比数列
的第二项、第三项、第四项.

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
的值.

18. (本小题满分12分)盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张.从盒中任意抽取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：

（Ⅰ）抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；

（Ⅱ）抽出的3张卡片上的数字之和等于8的概率.

19. (本小题满分12分)

已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为
，若A,B,C成等差数列，
，记角

（Ⅰ）求
的值域；

（Ⅱ）若
，求
的值．

20. (本小题满分12分)如图，已知四棱锥
底面
为菱形，
平面
，

、
分别是
、
的中点.

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）设
， 若
为线段
上的动点，
与平面
所成的最大角的正切值为
求二面角
的余弦值.

21. (本小题满分12分)设函数
,数列
满足

,（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
, 求证：

22．（本小题满分12分）

已知函数
，
，且
．

（Ⅰ）求函数
在区间
上的极值；

（Ⅱ）如果对于所有
都有
成立，求
的取值范围．

柳州铁一中学2012--2013学年第二学期高二年级数学（文科）答案

一．选择题：CAACC BBDDC AD

二．填空题：13：_40 14：11 15： 2 16：

三．解答题：

17.解：（1）

由
,

(2)

18. 解：(1)
(2)

19. 解：（I）由已知 A、B、C成等差数列，得2B=A+C，

∵ 在△ABC中， A+B+C=π，于是解得
，
．

∵ 在△ABC中，
，
，

所以

,

（Ⅱ）∵
,∴
．

若
，此时由
知x>
，这与
矛盾．

∴ x为锐角，故
．∴
．

20. （1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又 BC∥AD，因此AE⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD，AE
平面ABCD，所以PA⊥AE.

而 PA
平面PAD，AD
平面PAD 且PA∩AD=A，所以 AE⊥平面PAD，

又PD
平面PAD.所以 AE⊥PD.

（2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.

由（1）知 AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=
，

所以 当AH最短时，∠EHA最大，

即 当AH⊥PD时，∠EHA最大.

此时 tan∠EHA=

因此 AH=
.又AD=2，所以∠ADH=45所以 PA=2.

因为 PA⊥平面ABCD，PA
平面PAC，所以 平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=
，AO=AE·cos30°=
,

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=
,

又
Rt△ESO中，cos∠ESO=

即所求二面角的余弦值为
-

21.解：(1)

由累加法得：

(2)

22．解：（1）
，由
，即
，得
.

∴
.令
，解得
或

当
变化时，
在区间
上的变化情况如下表：







2







－

0

＋

0

－





单调递减



单调递增

9

单调递减



从上表可知，当x=-1时，
在区间（-2，3）上有极小值，极小值为
，当x=2时，
在区间（-2，3）上有极大值，极大值为9.

（2）①由
得
，当
时，不等式恒成立，
；

当
时，不等式为
，而

当
时，不等式为
，

当
时，
恒成立，则
.

②由
得

当
时，
恒成立，
；当
时，有
，