甘谷四中2012—2013学年度第二学期高二级第二次检测考试

数学（理科）

（满分：150分，时间：120分钟）

一. 选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案

的序号填涂在答题卡上）

1．设集合
，则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

2. 复数
的共轭复数是 （ ）

A.
B.
C. D.

3. 下列函数中，既是偶函数又在
单调递增的函数是 ( )

A.
B.
C.
D.

4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)．

A．7 B．9 C．10 D．15

5. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )

A.
B.
C.
D.

6． 已知
为等差数列
的前项的和，
，
，则
的值为( )

A．6 B． C．
D．

7．已知向量
则
等于( )

A．
B. 3 C.
　　 D.

8. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的

三视图，则此几何体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为
＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)．

A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心(，)

C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg

D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg

10.等轴双曲线
的中心在原点，焦点在轴上，
与抛物线
的准线交于
两点，
；则
的实轴长为（ ）

A.
B.
C. D.

11. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则(　　)．

A.甲＜乙，m甲＞m乙 B.甲＜乙，m甲＜m乙

C.甲＞乙，m甲＞m乙 D.甲＞乙，m甲＜m乙

12．已知直线
的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 已知二项式
的展开式中所有项的系数之和等于64，那么这个展开式中含x2项的系数是_______.

14. 已知随机变量
服从正态分布
，

15. 若直线的极坐标方程为
,曲线:
上的点到直线的距离为,则的最大值为_________.

16．设
，若
，则a＝ .

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分)

已知
分别为
三个内角
的对边，

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)若
，
的面积为
；求
。

18．(本小题满分12分)2012年元旦、春节前夕，各个物流公司都出现了爆仓现象，直接原因就是网上疯狂的购物．某商家针对人们在网上购物的态度在某城市进行了一次调查，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人对网上购物持赞成态度，另外27人持反对态度；男性中有21人赞成网上购物，另外33人持反对态度．

(Ⅰ) 估计该地区对网上购物持赞成态度的比例；

(Ⅱ) 有多大的把握认为该地区对网上购物持赞成态度与性别有关；

附：表1

K2＝

19. (本小题满分12分)

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ) 证明：PA⊥BD；

(Ⅱ) 若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

20. (本小题满分12分)

某商场准备在五一劳动节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动.

（Ⅰ）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；

（Ⅱ）商场对选出的A商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高90元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的，请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利？

21．(本小题满分12分) 已知函数
.

（Ⅰ）求
的最小值；

（Ⅱ）若对所有
都有
，求实数的取值范围.

22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，直线
的参数方程为
（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为
。

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆C与直线
交于点A、B，若点P的坐标为
，求|PA|+|PB|。

甘谷四中2012——2013学年高二第二学期

第二次阶段考试数学试题（理）

参考答案

选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



A

C

B

C

A

D

A

B

D

C

B

C





填空题：

13. 135 14. 0.16 15.
+1 16. 3 .

三．解答题：

17.解:（1）由正弦定理得：

（2）

解得：

18. 解：(1)接受调查的124人中，有64人对网上购物持赞成态度，所以该地区对网上购物持赞成态度的估计值为＝.

(2)2×2列联表：

表2

K2＝≈6.201，因为6.201>3.841，

所以有95%的把握认为该地区对网上购物持赞成态度与性别有关．

19. 解析1：（Ⅰ）因为
, 由余弦定理得

从而BD2+AD2= AB2，故BD AD;又PD底面ABCD，可得BD PD

所以BD平面PAD. 故 PABD

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-
，则

,
,
,
。

设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则
,

即

因此可取n=

设平面PBC的法向量为m，则

可取m=（0，-1，
）

故二面角A-PB-C的余弦值为

20. 20. 解：（Ⅰ）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共可以有
种不同的选法. 选出的3种商品中，没有日用商品的选法有
种，所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为P=1-
=1-
.

（Ⅱ）假设商场将中奖奖金数额定为x元，则顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ,其所有可能的取值为，0，x,2x,3x.

ξ=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以P（ξ=0）=(
)3=
,

同理可得P(ξ=x)=
(
)(
)2=
,

P(ξ=2x)=
(
)2(
)=
,P(ξ=3x)=(
)3=
.

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望是

Eξ=0×
+x·
+2x·
+3x·
=1.5x.

要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额，因此应有1.5x≤90,所以x≤60，故商场应将中奖奖金数额最高定为60元，才能使促销方案对自己有利.

21．解：(1)
的定义域为
， …………1分

的导数
. ………………2分

令
，解得
；令
，解得
.

从而
在
单调递减，在
单调递增. ………………4分

所以，当
时，
取得最小值
. ………………………… 6分

(2)依题意，得
在
上恒成立，

即不等式
对于
恒成立 .

令
， 则
. ……………………8分

当
时，因为
，

故
是
上的增函数， 所以
的最小值是
， …………… 10分

所以的取值范围是
. ………………………………12分

22.