参考公式：

如果事件A, B互斥, 那么 棱柱的体积公式

P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh

如果事件A, B相互独立, 那么 其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高

P(A·B)=P(A)·P(B) 棱锥的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n V=
Sh

次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高

Pn(k)=C
pk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) 球的表面积公式

棱台的体积公式 S = 4πR2

球的体积公式

其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积, V=
πR3

h表示棱台的高 其中R表示球的半径

第I卷（共50分）

一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．

（1）已知两条不同直线m、n,两个不同平面α、β.给出下面四个命题:① m⊥α, n⊥α
m//n； ② α//β,
,

m//n ； ③ m//n, m//α
n//α； ④ α//β, m//n, m⊥α
n⊥β. 其中正确命题的序号是 （▲ ）

（A） ①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③

（2）已知
且
，则
是
的（▲ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（3若复数
(是虚数单位)，则（▲ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（4）在
的展开式中，的幂指数是整数的项共有（▲）

（A）3项 （B）4项 （C）5项 （D）6项

（5）如图的倒三角形数阵满足：（1）第行的，个数，分别

是，
，
，…，
；（2）从第二行起，各行中的

每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有行．

问：当
时，第
行的第
个数是（▲ ）

A．
B．
C．
D．

（6）已知方程
的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线．一抛物线的离心率，则
的取值范围是（▲ ）

（7）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数和原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数是奇和数。那么，所有的三位数中，奇和数有 （ ▲ ）

A．80 B．100 C．120 D．160

(8) 袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是 （▲ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

（9）已知点
是双曲线
的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆
交于点，且点在抛物线
上，则该双曲线的离心率是（▲ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）点到图形
上每一个点的距离的最小值称为点到图形
的距离，那么平面内到定圆
的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是（▲ ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线

第II 卷(共100分)

二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

11、已知某随机变量
的概率分布列如右表，其中
，随机变量
的方差
，

则
▲ .

12．已知某几何体的三视图如右图所示,其中俯视图

是边长为2的正三角形,侧视图是直角三角形,则此

几何体的体积为 ▲ 。

13、若
在
处有极值10，则的值为 ▲_

14、已知为直线
上一动点，若在
上存在一点使
成立，则点的横坐标取值范围为_____▲____．

15.
6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，
和
同学分别穿着白色和黑色文化衫，和分别穿着红色和橙色的文化衫.若老师站中间，穿着相同颜色文化衫的都不相邻，则不同的站法种数为 _▲__ .

16．抛物线
的焦点为，
在抛物线上，且
，弦
的中点
在其准线上的射影为，则
的最大值为 _▲__ .

17、棱长为2的正四面体
在空间直角坐标系中移动，但保持点
分别在轴、轴上移动，则原点
到直线
的最近距离为____▲____

三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．

（18）（本小题满分14分）袋中有大小相同的
个编号为、、
的球，号球有个，号球有个，
号球有个．从袋中依次摸出个球，已知在第一次摸出
号球的前提下，再摸出一个号球的概率是
．

（Ⅰ）求、的值；

（Ⅱ）从袋中任意摸出个球，记得到小球的编号数之和为
，求随机变量
的分布列和数学期望
．

(19)(本题满分14分) 已知函数
(a∈R).

(Ⅰ) 若函数f (x)在R上单调， 求a的值；

(Ⅱ)若函数f (x)在区间[0，2]上的最大值是5， 求a的取值范围.

（20）(本题满分14分)如图，在梯形
中，
，
，四边形
为矩形，平面
平面
，
.

（I）求证：
平面
；

（II）点
在线段
上运动，设平面
与平面
所成二面角的平面角为
，试求
的取值范围.

（21）（本小题满分15分）已知椭圆：
，直线过点
．

（Ⅰ）若直线交轴于点，当
时，
中点恰在椭圆上，求直线的方程；

（Ⅱ）如图，若直线交椭圆于
两点，当
时，在轴上是否存在点，使得
为等边三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

（22）（本小题满分15分）已知函数
在点
处的切线方程为
，且对任意的
，
恒成立.

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）求实数
的最小值；

（Ⅲ）求证：
（
）.

高二理科数学参考答案及评分细则

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

C

A

D

C

A

C

B

D

D

D



二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11、
12 、
13、 -4

14、
15、 112； 16、

17、

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18解：（1）记“第一次摸出
号球”为事件，“第二次摸出号球”为事件， …2分

则
， 4分

解得
； …………6分

（2）随机变量
的取值为
，
的分布列为

3

4

5

6















…………10分

所以，数学期望
． …………14分

(20) (Ⅰ) 解:

,

因为函数f (x)在R上单调, 所以
,

即a = 0. …………………(6分)

(Ⅱ) 解: 因为
,

所以
{f (x)}= max{ f (1) , f (2)}= max{3a2+3, 5}=5,

即 3a2+3 ≤ 5, 解此不等式, 得

,所以a的取值范围是
. ……(14分)

（II）由（I）可建立分别以直线
为
的如图所示空间直角坐标系，令
，则
，

∴

设
为平面MAB的一个法向量，

由
得

取
，则
，…………8分

∵　
是平面FCB的一个法向量

∴
…10分

∵
∴　当
时，
有最小值
，

当
时，
有最大值
。 ∴
…………………14分

21．（Ⅰ）设点
，则
的中点为

∴
∴
（3分）

∴直线的方程为：
． （4分）

（Ⅱ）假设在轴上存在点，使得
为等边三角形．设直线为
，则

∴

∴
（6分）

∴
中点为

∴
的中垂线为：
（8分）

∴点为
∴到直线的距离
（10分）

∵
（11分）

∴
（13分）

∴
∴存在点为
． （15分）

22. （本小题满分15分）

解：（Ⅰ）将
代入直线方程得
，∴
① --------------1分

，∴
② --------------2分

①②联立，解得

∴
--------------4分

在
单调递增，∴
--------------7分

2）当
，即
时，设
是方程
的两根且

由
，可知
，

分析题意可知当
时对任意
有
；

∴
，∴
--------------8分

综上分析，实数的最小值为. --------------9分

（Ⅲ）令
，有
即
在
恒成立；----10分

令
，得
--------------11分

∴
∴原不等式得证. --------------15分