沈阳二中2012——2013学年度下学期期中考试

高二（14届）数学（理）试题

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题列出的4个选项中，只有一项符合题目要求。

1.将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，则事件T发生的概率为

2.已知命题p：?x0∈R，x02＋2x0＋2≤0，那么下列结论正确的是

A．?p：?x0∈R，x02＋2x0＋2>0

B．?p：?x∈R，x2＋2x＋2>0

C．?p：?x0∈R，x02＋2x0＋2≥0

D．?p：?x∈R，x2＋2x＋2≥0

3.采取简单随机抽样，从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则个体前两次未被抽到，第三次被抽到的概率为

4.若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10恒成立，则a9＝

A．－10 B．10 C．－9 D．9

5.如图所示，已知矩形
中，
，
，

，若在
上只有一个点
满足
，

则=

1
2
3
4

6.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分别为

A．0.27, 78 B．0.27, 83

C．2.7, 78 D．2.7, 83

7.甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是___________

0.216
0.36
0.432
0.648

8.二面角的棱上有A、B两点，线段
、
分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于
。已知
，
，
=8，
，则该二面角的大小为__________

9.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况：

①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；

②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；

③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；

④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；

关于上述样本的下列结论中，正确的是

A．①、③都可能为系统抽样 B．②、④都可能为分层抽样

C．②、③都可能为分层抽样 D．①、④都可能为系统抽样

10. 已知
与
，且
与
互相垂直，则

11.设
是两条成角为
的异面直线，现经过空间一点
，有 条与异面直线
成角都为
的直线。

1
2
3
4

12.有7个物体分三列用细绳栓在一根横杆上，每列分别栓2个，2个，3个。按如下规则向物体射击（假设每一轮均击中）：每次先选择一列，然后向该列的最下端物体射击，直至7个物体全部命中。则不同的射击顺序为 种。

210
240
264
188

第Ⅱ卷 （90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知
的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则等于__________

14.抛掷红、蓝两个骰子，事件A=“红骰子出现4点”，事件B=“蓝骰子出现的点数是偶数”，求
= ___________

15.中华人民共和国第十二届全运会将于2013年8月31日—9月12日在辽宁举行。将甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者分成3个小组，分赴3个不同场馆服务，要求每个场馆至少一人，甲、乙两人不分在同一个小组里，丙、丁两人也不分在同一个小组里，那么不同的分配方案有_______种。（用数字作答）

16.下列说法正确的是_______________

①用最小二乘法求的线性回归直线
必过点

②一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，现从中任取2件，则其中出现次品的概率为

③两人独立地解决同一个问题，甲解决这个问题的概率为
，乙解决这个问题的概率为
，两人同时解决的概率为
，则这个问题得到解决的概率等于
，也等于

④已知随机变量
服从正态分布
，
，则

⑤对于空间任意一点O和不共线的三点、、
，若
（
），则、、、
四点共面的充要条件是

三、解答题：本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以
表示．

（1）如果
,求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

（2）如果
,求乙组同学植树棵数的中位数和众数；

（3）如果
，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望．

18.（本小题满分12分）

如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（Ⅰ）求证：
平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．

19.（本小题满分12分）

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的
列联表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生



5





女生

10







合计





50



已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为
．

（1）请将上面的
列联表补充完整(不用写计算过程)；

（2）能否在犯错误的概率不超过0. 005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为
，求
的分布列与期望.

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



 (参考公式：
，其中
)

20.（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥
中，

底面
为正方形，
，

，
分别为
的中点。

（1）求证：

（2）在棱
上确定一点
，使得
∥面
，

并写出证明过程

（3）在（2）成立的条件下，求二面角
的余弦值

21. （本小题满分12分）

甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，回答下列问题：（将频率视为概率）

甲运动员 乙运动员

射击环数

频数

频率



7

10

0.1



8

10

0.1



9



0.45



10

35





合计

100

1



射击环数

频数

频率



7

8

0.1



8

12

0.15



9







10



0.35



合计

80

1





（1）求甲运动员击中10环的概率

（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率

（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，
表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求
的分布列及
.

22.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，
，

，
，
，

点为
中点。

（1）求二面角
的余弦值

（2）在直线
上是否存在点
，使得
与平面

所成角的正弦值为
，若存在，求出点
的位置；若不存在，说明理由。

高二期中考试 数学（理）试题答案

一、选择题：

1

2

3

4

5

6



D

B

D

A

B

A



7

8

9

10

11

12



D

D

C

B

C

A



二．填空题：

13．6 14．
15． 84 16．①③④⑤

三、解答题：

17．解:（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

所以平均数为
……………………………………1分

方差为
………………………2分

（2）当X=9时，

由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，9，9，10。

中位数9，众数9. ………………4分

（3）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=
。

同理可得

所以随机变量Y的分布列为：

Y

17

18

19

20

21



P















EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×
+18×
+19×
+20×
+21×
=19。…………………………10分

18．解:方法一：⑴．证明：连结OC

，
．

在
中，由已知可得

而
，

即

∴
平面
． …………………………… 4分

⑵．解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为

BC的中点知
，

∴　直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，在
中，

是直角
斜边AC上的中线，∴

∴
，

∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为
． ………………………… 8分

⑶．解：设点E到平面ACD的距离为
．

在
中，
,

,而
，
．

∴
， ∴点E到平面ACD的距离为
…12分

方法二：⑴．同方法一．…………… 4分

⑵．解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则

，

∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为
．………8分

⑶．解：设平面ACD的法向量为
则

，

∴
，令
得
是平面ACD的一个法向量．

又
∴点E到平面ACD的距离
．…12分

19．解：(1) 列联表补充如下： -----------------------3分

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生

20

5

25



女生

10

15

25



合计

30

20

50



（2）∵

∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.-- -----7分

（3）喜爱打篮球的女生人数
的可能取值为
.

其概率分别为
,
,

故
的分布列为:




















的期望值为:
---------------------12分

20．(Ⅰ)证明：∵底面
为正方形，
，为
的中点，∴
.

∵
平面
，
平面
，∴
.

∵
为正方形，∴
，

∵
，∴
平面
，

∴
，

∴
. …………… 4分

（II）棱
中点G使得
面
.

证明如下：取
中点
，连接
，

∵、分别为
、
中点，∴
∥

∵在正方形
中，
、
分别为
、
中点，

∴
∥
，∴
∥
，∴、、
、
四点共面.

∵在△
中，
且
面
面
，

∴
面
. ………………………………8分

法二：以
，

则
,

设
设
.

的法向量为
，

. ………………………………………………………8分

（Ⅲ）设
的法向量为
，

∴
，∵二面角
的平面角为钝角，

∴二面角
的余弦值为
. ……………………………………12分

射击环数

频数

频率



7

10

0.1



8

10

0.1



9

45

0.45



10

35

0.35



合计

100

1



射击环数

频数

频率



7

8

0.1



8

12

0.15



9

32

0.4



10

28

0.35



合计

80

1



21．

甲运动员 乙运动员

解：（1）设“甲运动员击中10环”为事件,

甲运动员击中10环的概率为0.35. ……………………2分

（2）设甲运动员击中9环为事件
，击中10环为事件

则甲运动员在一次射击中击中9环以上（含9环）的概率

……………………4分

甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率

答：甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率为0.992. ……………………6分

（3）
的可能取值是0，1，2，3

所以
的分布列是

0

1

2

3





0.01

0.11

0.4

0.48





. ……………………12分

22．(1)

,

，

两两垂直 …………… 2分

故以C为坐标原点，分别以
所在直线

为
轴建立空间直角坐标系，则

，
，
，设平面
的一个法向量
，
，
，

平面
的一个法向量为
，
，设二面角
的平面角为
，
…………… 6分

（2）存在，
是
的中点或是
的中点

设
，则
，

，

解得
，

所以
是
的中点或是
的中点 …………… 12分