沈阳二中2012——2013学年度下学期期中考试

高二（14届）数学（文）试题

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题列出的4个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合
和集合
，则

．
．

．
．

2.已知集合
满足
，这样的集合
有__________个。

A．7 B．8 C．9 D．10

3.已知命题p：?x0∈R，x02＋2x0＋2≤0，那么下列结论正确的是_____________

A．?p：?x0∈R，x02＋2x0＋2>0

B．?p：?x∈R，x2＋2x＋2>0

C．?p：?x0∈R，x02＋2x0＋2≥0

D．?p：?x∈R，x2＋2x＋2≥0

4.将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，则事件T发生的概率为

5.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________。

42 42
45 46
45 42
47 48

6.已知偶函数
在区间
单调递增，则满足
＜
的取值范围_____

（
，
）
［
，
）
（
，
）
［
，
）

7.已知函数
的最大值为
，最小值为，则
=______

1




2

8.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：

①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；

②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；

③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；

④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；

关于上述样本的下列结论中，正确的是

①、③都可能为系统抽样
②、④都可能为分层抽样

②、③都可能为分层抽样
①、④都可能为系统抽样

9.若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.

2


3

10.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是_________

11.已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝________.

6
7
8
9

12.函数
的定义域为R，若
与
都是奇函数，则__________

A.
是偶函数 B.
是奇函数

C.
D.
是奇函数

第Ⅱ卷 （90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若
则

14.如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BD⊥AE，

AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝______

15.已知
在其定义域
上为增函数，
，

，则不等式
的解集是

16. 下列说法正确的是_______________

①用最小二乘法求的线性回归直线
必过点

②已知
是偶函数，定义域为
，则

③
为偶函数

④采取简单随机抽样，从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则个体前两次未被抽到，第三次被抽到的概率为

三、解答题：本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.

求证：（1）∠ADE＝∠DAE

（2）ED2＝EC·EB.

18.（本小题满分12分）

现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．

(1)求A1被选中的概率；

(2)求B1和C1不全被选中的概率．

19. （本小题满分12分）

已知p：2x2－9x＋a<0，q：
，且?p是?q的充分条件，求实数a的取值范围。

20.（本小题满分12分）

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的
列联表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生



5





女生

10







合计





50



已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为
。

（1）请将上面的
列联表补充完整(不用写计算过程)；

（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



 (参考公式：
，其中
)

21.（本小题满分12分）

已知定义在实数集上的奇函数，
有最小正周期2，且当
时，

1）求函数
在
上的解析式；

2）判断并证明
在
上的单调性；

3）当
取何值时，方程
在
上有实数解？

22.（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）若函数
的图象在
处的切线斜率为，求实数的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若函数
在
上是减函数，求实数的取值范围.

高二期中考试数学（文）试题答案

一、选择题：

1

2

3

4

5

6



D

B

B

D

C

A



7

8

9

10

11

12



B

C

D

D

A

D



二．填空题：

13．31 14．5 15．
16．①②④

三、解答题：

17．如图所示，因为AE是圆的切线，所以∠ABC＝∠CAE.

又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD.

从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD.

因为∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，

所以∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED. ………………………5分

因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2＝EC·EB。

而EA＝ED，所以ED2＝EC·EB。 ………………………10分

18． (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件有

(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)共18个基本事件．………………………4分

由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．

用M表示“A1恰被选中”这一事件，则

M包含以下事件：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，

事件M由6个基本事件组成，

因而P(M)＝＝.………………………7分

………12分

19．由
，得2

∴q的解集为{x|2

设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2

∵?p??q，∴q?p.∴B?A.

∴满足2

即2

∵当2

9x－2x2＝－2(x2－x＋－)＝－2(x－)2＋，

即9<9x－2x2≤， ………………………10分

∴a≤9. ………………………12分

20．解：(1)列联表补充如下： ………………………6分

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生

20

5

25



女生

10

15

25



合计

30

20

50



（2）∵

∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.-- -----12分

21．解：1）当
时，

是奇函数

又

得

…………………………………6分

2）当
时，

任取
，

且
，

－
＝
－
＝

，
,

即

在
上是减函数。 …………………………………9分

3）
在
上是减函数，
在
上是减函数

时，

时，

，

当
时

关于的方程
＝
在
上有实数根。 …………………………………12分

22．解：（Ⅰ）

由已知
，解得
. …………3分

（II）函数
的定义域为
. ………………………4分

（1）当
时,
，
的单调递增区间为
；……5分

（2）当
时
.

当变化时，
的变化情况如下：











-



+







极小值





 由上表可知，函数
的单调递减区间是
；

单调递增区间是
. …………7分

（Ⅲ）由
得
，

由已知函数
为
上的单调减函数，

则
在
上恒成立，

即
在
上恒成立.

即
在
上恒成立.

令
，在
上
，

所以
在
为减函数.
,

所以
. …………12分