山东省聊城市某重点高中2012-2013学年下学期高二阶段性测试（二）数学（文理科）试题

考试时间120分钟；满分120分

第I卷

一．选择题（共60分）

1.不等式
对一切
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

2．（文）函数
，则
的解集为（ ）

A．
B．

C．
D．

（理）已知
为定义在
上的可导函数，且
对于
恒成立（
为自然对数的底），则 （ ）

A．

B．

C．

D．
与
大小不确定

3. 公比为4的等比数列
中,若
是数列
的前
项积,则有
也成等比数列，且公比为
；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列
中，若
是
的前
项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为（ ）

A．100 B．200 C．300 D．400

4．已知正数
满足
，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．设
分别为椭圆
的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若
，

则点A的坐标是（ ）

A．
B.
C．
D.

6.双曲线
的离心率
，则k的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知函数
在R上可导，且
，则
与
的大小为（ ）

8. 设椭圆
（a>b>0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120o，椭圆离心率e的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．两圆
和
的位置关系是（ ）

A．内切 B.相交 C.外切 D.外离

10.若直线将圆
平分，但不经过第四象限，则直线的斜率的取值范围是（ ）

A.
B.[0，1] C.
D.

11.（文）直线
和圆
交于
两点，则
的中点坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

（理）如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D?直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是（　　） A．当|CD|=2|AB|时，M，N两点不可能重合  B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与直线l不可能相交  C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交

D．当AB，CD是异面直线时，MN可能与l平行 

12.直线过抛物线
的焦点F，且交抛物线于
两点，交其准线于
点,已知
,则
（ ）

A.
B.
C.
D．4

第Ⅱ卷

二、填空题

13.设
，
，是虚数单位，复数
，观察：
，
，…，得出一般性结论为：
_ _______.

14．（文）已知
的取值如下表所示：

x

0

1

3

4



y

2.2

4.3

4.8

6.7



从散点图分析，
与
线性相关，且
，则
．

（理）设
，
，
且
，则
.

15.（文）计算

（理）书架上有4本不同的书，甲、乙、丙三人去选书，每人至少选一本，则共有　_____种不同选法.

16. 在等差数列
中有性质：
（
），类比这一性质，试在等比数列
中写出一个结论： .

三．解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．

17．（本小题满分10分）

已知
，
，且
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围.

18.（本小题满分12分）

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
,且过点
.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设点
，若
是椭圆上的动点，求线段
的中点
的轨迹方程.

19．（本小题满分12分）

已知
为圆
上任一点，且点
．

（1）若
在圆
上，求线段
的长及直线
的斜率；

（2）求
的最大值和最小值；

（3）若
,求
的最大值和最小值．

20．（本小题满分12分）

设函数
.

（1）若曲线
在点
处与直线
相切，求
的值；

（2）求函数
的单调区间与极值点.

21（本小题满分12分）

（文）已知双曲线
的离心率
且点
在双曲线C上.

(1)求双曲线C的方程；

(2)记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为
求直线l的方程.

（理）已知点是F抛物线
与椭圆
的公共焦点，且椭圆的离心率为

（1）求椭圆的方程；

（2）过抛物线上一点P，作抛物线的切线，切点P在第一象限，如图，设切线与椭圆相交于不同的两点A、B，记直线OP，FA,FB的斜率分别为
（其中
为坐标原点），若
，求点P的坐标.

22．（本小题满分12分）

（文）已知A，B两点在抛物线C：x2＝4y上，点M(0,4)满足＝λ.

(1)求证：⊥；

(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.

(ⅰ)求证：点N在一条定直线上；

(ⅱ)设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．

（理）已知

.

（1）
时，求
的极值;

（2）当
时，讨论
的单调性;

（3）证明：
（
，
，其中无理数
）

高二数学试题参考答案

一．选择题

1．C 2．B （理A） 3．C 4．A 5．D 6. C 7. B 8. A 9. B 10.A 11.A （理B） 12.C

二．填空题

13
14 （文）
（理）

15 （文）
（理） 60 16

三．解答题

17. 解:设
的解集为
，

的解集为
，

是
充分不必要条件，
是
的必要不充分条件，

，
， 又
，

.

18.解：(1)由已知得椭圆的半长轴
，半焦距
，则半短轴
.

又椭圆的焦点在
轴上, ∴椭圆的标准方程为
.

(2)设线段
的中点为
,点
的坐标是
，

由
，得
，

由点
在椭圆上,得
,

∴线段
中点
的轨迹方程是

19.(1）由点
在圆
上，　　

可得
，所以
．

所以
,
．

（2）由
可得
．

所以圆心
坐标为
，半径
．

可得
，

因此
，
．

（3）可知
表示直线
的斜率，

设直线
的方程为：
，则
．

由直线
与圆
有交点， 所以
．可得
，

所以
的最大值为
，最小值为
.

20．解：（1）
,

∵曲线
在点
处与直线
相切，

∴

（2）∵
,

当
时，
，函数
在
上单调递增，

此时函数
没有极值点.

当
时，由
，

当
时，
，函数
单调递增，

当
时，
，函数
单调递减，

当
时，
，函数
单调递增，

∴此时
是
的极大值点，

是
的极小值点.

21（文）解：(1)由已知
可知双曲线为等轴双曲线设a=b

及点
在双曲线
上得

解得

所以，双曲线
的方程为
.

(2)由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为

由
得

设直线与双曲线
交于
、
，则
、
是上方程的两不等实根，

且
即
且
①

这时
，

又

即

所以

即

又


适合①式

所以，直线的方程为
与
.

另解：求出
及原点
到直线的距离
,利用
求解.

或求出直线
与
轴的交点
，利用

求解

21（理）解（1）因为点F的坐标为
，则有
，

从而有
，故椭圆方程为
……………4分

（2）设
由
，得切线的斜率为，从而切线的方程为：
，

由
，得

设
则有
，

而

从而有