金山中学2012-2013年度第二学期期末考试

高二文科数学 试题卷

一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分）

1、集合
（其中
为虚数单位）中元素的个数是（ ）

A．
B．
C．
D．无穷多个

2、在正项等比数列
中，
，则
的值为( ）

A．
B．
C．
D．

3、直线
与圆
的位置关系是( ）

A．相离 B．相切

C．直线与圆相交且过圆心 D．直线与圆相交但不过圆心

4、已知某几何体的三视图如右图所示, 其中俯视图是等腰梯形

（较短的底长为
），则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5、已知平面向量

，

，且
，

则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6、如右图的算法流程图, 若
,

则
的值为（ ）

A．9 B．8 C．6 D．4

7、以下结论正确的是（ ）

A．“
”是“
”的充分而不必要条件；

B．函数
的零点在区间
内；

C．函数
的图象向左平移
个单位后，得到函数
图象；

D．对于直线
和平面
，若
，则
.

8、函数
与
在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）

9、已知函数：
，其中
，记函数
满足条件：
为事件为
，则事件
发生的概率为（ ）

A．
　 B．
　　 C．
　 　 D．

10、设函数
的定义域为
，若对
，使得
（其中
为常数）成立，则称函数
在
上的均值为
. 给出下列四个函数：①
；②
；③
；④
, 则满足在其定义域上均值为
的函数的个数是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

11、．函数
在
处的切线方程为 ．

12、观察下列各式： a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝ ．

13、设二次函数
的值域为
，则
的最小值为 ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．

14、（几何证明选讲）如图所示，
是半径等于3的圆
的直径，点
在
的延长线上,割线
交圆
于
，若
,则
．

15、（坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆
上的点到直线

的距离的最小值是 __ ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

某校高三（1）班共有
名学生，他们每天自主学习的时间全部在
分钟到
分钟之间，按他们学习时间的长短分
个组统计得到如下频率分布表：

分组

频数

频率



[180 , 210）







[210 , 240）







[240 , 270）







[270 , 300）







[300 , 330）







 （1）求分布表中
，
的值；

（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这
名学生中按时间用分层抽样的方法抽取
名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？

（3）已知第一组的学生中男、女生均为
人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．

17.（本小题满分12分）

在△
中，内角
所对的边分别为
，已知
.

(1)求证：
成等比数列；

(2)若
，求△
的面积S．

18. (本小题满分14分)

如图，三棱柱
中，侧棱垂直底面,
，
，
是棱
的中点．

(1)证明：平面
⊥平面
；

(2)平面
分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

19.(本小题满分14分)

如图直角梯形
中，
,
,
是
边的四等分点，

为在梯形区域内一动点，满足
，记动点
的轨迹为
.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求轨迹
在该坐标系中的方程；

(2) 判断轨迹
与线段
是否有交点，若有交点，求出交点位置；若没有交点，请说明理由；

（3）证明
四点共圆，并求出该圆的方程．

20.(本小题满分14分)

已知数列
、
满足：
.

(1)求
的值；

(2)求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；

(3)设
，若
恒成立，求实数
的取值范围．

21.(本小题满分14分)

已知函数
（
为自然对数的底数），
，

,
．

（1）判断函数
的奇偶性,并说明理由；

（2）求函数
的单调递增区间；

（3）证明：对任意实数
和
，且
，都有不等式

成立．

高二文科数学期末答案:

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

A

C

B

B

A

C

D

C





二、填空题

11、
12、
13、
14、
15、1

三、解答题（共80 分）

16、解：（1）
，
．……………………………4分

（2）设应抽取
名第一组的学生，则
得
．

故应抽取
名第一组的学生． ……………………6分

（3）在（II）的条件下应抽取
名第一组的学生．

记第一组中
名男生为
，
名女生为
．

按时间用分层抽样的方法抽取
名第一组的学生共有
种等可能的结果，列举如下：

． ……………………………9分

其中既有男生又有女生被抽中的有
这
种结果， ………………10分

所以既有男生又有女生被抽中的概率为
…………………………12分

17、解：(I)由已知得：

，……………………………2分

，……………………………3分

，……………………………4分

再由正弦定理可得：
，……………………………5分

所以
成等比数列. ……………………………6分

(II)若
，则
，……………………………7分

∴
，……………………………9分

，……………………………10分

∴△
的面积
…………………………12分

18、证明：

19、解：（1）取
中点为
,以
为坐标原点，

所在直线为
轴建立如图所示的直角坐标系，…1分

那么

由于
，且
……………2分

那么动点
的轨迹为以
焦点，长轴长为4的上半椭圆，

那么椭圆的方程为
……………4分

(2)在（1）所建立的坐标系中，点

由两点式得到直线
的方程为：
，……6分

把
代入椭圆方程并整理得
，解得
…… 8分

因为
轨迹
与线段
有且只有一个交点（1，
），…………………9分

（3）记
轴与
交点为
, 由于
轴是
的中垂线，那么

又
为直角梯形中位线，则
，且
，故
点坐标为
10分

计算可得
,故
四点共圆，…………………………12分

且该圆以
为圆心，半径为
故圆的方程为
…………14分

（3）另解：要证
四点共圆，设圆心为
.即证：
.

由
的垂直平分线：
，
的垂直平分线：
…………………10分

联立方程组
解得
，即
…………………………12分

又
，

所以，圆
的方程为
………………………………14分

20、解：（1)

∵
∴
……………3分

（2）∵
∴

∴数列{
}是以－4为首项，－1为公差的等差数列。 ……………5分

∴
∴
……………7分

(3)
……………8分

∴

…9分

∴
……………10分

由条件可知
恒成立即可满足条件

设
……………11分

时，
恒成立, ∴
可取；

时，由二次函数的性质知不可能成立；∴
不可取；

时，对称轴