梁山一中2012-2013学年高二下学期期中检测

数学（理）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．若复数
，则复数
对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2．下面是关于复数
的四个命题，其中真命题为(　　)

A. z的虚部为
B. z为纯虚数 C.
D.

3．用反证法证明命题：“
,
,
,且
,则
中至少有一个负数”时的假设为(　　)

A．
中至少有一个正数 B．
全为正数

C．
全都大于等于0 D．
中至多有一个负数

4．已知函数f(x)满足：x≥4，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝(　　)

A.  B.  C.  D. 

5．若0

A．
B．
C．
D.

6．下图为两幂函数y＝xα和y＝xβ的图像，其中α，β∈{－，，2,3}，则不可能的是(　　)



7．已知点
在曲线
上,
为曲线在点
处的切线的倾斜角,则
取值范围是(　　)

A.
B.
C.
D.

8．观察下列各式：
，
，
，
，
，…，则
(　　)

A. 28 B. 123 C. 76 D. 199

9．要使
成立，则
应满足的条件是(　　)

Ａ．
且
Ｂ．
且

Ｃ．
且
Ｄ．
且
或
且

10．已知函数
在
处可导，则
等于(　　)

A．
　　　 B．
　　　 C．
　　 D．０

11．由抛物线
与直线
所围成的图形的面积是(　　)

A．
B．
C．
D．

12．已知
为定义在
上的可导函数，且
对于
恒成立（
为自然对数的底），则(　　)

A．

B．

C．

D．
与
大小不确定

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）

13.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为　　　　．

14.设
是定义在
上的以3为周期的奇函数，若
，则
的取值范围是 。

15.已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 ．

16. 已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
给出以下命题：

①当

时，
； ②函数
有五个零点；

③若关于
的方程
有解，则实数
的取值范围是
；

④对
恒成立.

其中，正确命题的序号是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分.写出必要的步骤和理由.）

17. （本小题满分10分）

已知集合A＝
，B＝
.

（1）当
＝2时，求A
B； （2）求使B
A的实数
的取值范围.

18. （本小题满分12分）

已知幂函数f(x)＝
(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)＝f(x)＋ax3＋x2－b(x∈R)，其中a，b∈R.若函数g(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围.

19. （本小题满分12分）

函数
（
是常数），

（1）讨论
的单调区间；

（2）当
时,方程
在

上有两解，求
的取值范围；

20.（本小题满分12分）

已知函数
．

(1)求曲线
在点
处的切线方程；

(2)直线
为曲线
的切线，且经过原点，求直线
的方程及切点坐标．

21. （本小题满分12分）

已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x2－x＋a.

(1)当a＝2时，求函数y＝g(x)在[0,3]上的值域；

(2)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；

(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>－成立.

22．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的最大值；

（2）若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）若
，求证：
．

参考答案：

1-5 BDCAC 6-10 BDBAA 11-12 DC

13．2 14. (－1,
) 15. （-4,2） 16. ①④.

17. （1）当
＝2时，A＝（2，7），B ＝（4，5）∴ A
B＝（4，5）.

（2）∵ B＝（
，
＋1），

当
＜
时，A＝（3
＋1，2）

要使B
A，必须
，此时
＝－1；

当
＝
时，A＝
，使B
A的
不存在；

当
＞
时，A＝（2，3
＋1）

要使B
A，必须
，此时1≤
≤3.

综上可知，使B
A的实数
的取值范围为[1，3]∪{－1}

18. (1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，

∴－m2＋2m＋3>0即m2－2m－3<0，

∴－1

而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，

∴f(x)＝x4.

(2)g(x)＝x4＋ax3＋x2－b，

g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，

显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根.

为使g(x)仅在x＝0处有极值，则有x2＋3ax＋9≥0恒成立，

即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式，得a∈[－2,2].

这时，g(0)＝－b是唯一极值，∴a∈[－2,2].

19（1）
．

当
时,在定义域
上,
恒成立,即
单调增区间为
;

当
时,在区间
上,
,即
单调减区间为
;

在
上,
,即
单调增区间为
．

（2）当
时，
，其中
，

而
时，
；
时，
，

∴
是
在
上唯一的极小值点，

∴
． 又

，

综上，当
时，当方程
在

上有两解,
的取值范围为
．

20.解：(1)

在点
处的切线的斜率
，

切线的方程为
.

(2)设切点为
，则直线
的斜率为
，

直线
的方程为：
．

又直线
过点
，

，

整理，得
，
，

，

的斜率
，

直线
的方程为
，切点坐标为
．

21. (1)∵g(x)＝(x－1) 2＋，x∈[0,3]，当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝；

当x＝3时，g(x)max＝g(3)＝，故g(x)在[0,3]上的值域为[，].

(2)f′(x)＝lnx＋1，当x∈(0，)，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增.

①0

③≤t

所以f(x)min＝.

(3)g′(x)＋1＝x，所以问题等价于证明xlnx>－(x∈(0，＋∞))，由(2)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－，当且仅当x＝时取到；

设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，

则m′(x)＝，易得m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>－成立.

22．解：（1）
，则
．

当
时，
，则
在
上单调递增；

当
时，
，则
在
上单调递减，

所以，
在
处取得最大值，且最大值为0．

（2）由条件得
在
上恒成立．

设
，则
．

当 x∈(0,e)时，
；当
时，
，所以，
．

要使
恒成立，必须
．

另一方面，当
时，
，要使
恒成立，必须
．

所以，满足条件的
的取值范围是
．

（3）当
时，不等式
等价于．ln
>

令
，设
，则
′(t)=
>0，

在
上单调递增，
，

所以，原不等式成立．