南昌三中2012-2013学年度下学期第一次月考

高二数学（文）试卷

命题：张金生 审题：黄云昭

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）

1. 下列求导运算正确的是( )

A．
B．

C．
=
D．

2．下列有关样本相关系数的说法不正确的是(　　)

A．相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度

B．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大

C．|r|≤1，且|r|越接近0，相关程度越小

D．|r|≥1，且|r|越接近1，相关程度越小

3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男

女

总计



爱好

40

20

60



不爱好

20

30

50



总计

60

50

110



由K2＝算得，K2＝≈7.8.

附表：

P(K2≥k)

0.050

0.010

0.001



k

3.841

6.635

10.828



参照附表，得到的正确结论是(　　)

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

4．两个相关变量满足如下关系：

x

10

15

20

25

30



y

1003

1005

1010

1011

1014



则两变量的回归方程为(　　)

A.＝0.56x＋997.4 B.＝0.63x－231.2 C.＝0.56x＋501.4 D.＝60.4x＋400.7

5．下列函数在点x＝0处没有切线的是(　　)

A．y＝3x2＋cosx B．y＝xsinx C．y＝＋2x D．y＝

6．已知函数
的导函数为
，且满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．三次函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)内是减函数，则(　　)

A．a≤0　　 B．a＝1 C．a＝2　　 D．a＝

8．已知函数f(x)＝sinx＋ex，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，

fn＋1(x)＝f′n(x)，则f2013(x)＝(　　)

A．sinx＋ex B. cosx＋ex C．－sinx＋ex D．－cosx＋ex

9．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)

A．f(2)>e2f(0)，f(2011)>e2011f(0) B．f(2)e2011f(0)

C．f(2)>e2f(0)，f(2011)

10．已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是(　　)

A．(3,8) B．(4,7) C．(4,8) D．(5,7)

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知函数
，则

12．函数
在原点处的切线方程是

13．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.

14．若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

15．设P是边长为a的正三角形ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则h1＋h2＋h3＝a；类比到空间，设P是棱长为a的正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1＋h2＋h3＋h4＝________.

三、解答题（共6小题，共75分，每题要有必要的解题步骤和文字说明）

16．(本题满分12分)设函数f(x)＝2x3-12x 。(1)求函数f(x)的单调递增区间，（2）求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．

17．（本小题满分12分）已知
是正实数，且
,求证：
＜
.

18．（本小题满分12分）求证：
（
是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与
轴有两个交点．

19.（本小题满分12分）已知曲线y=
+
.(1)求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

20．（本小题满分13分）已知椭圆具有如下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，则kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试写出双曲线－＝1(a>0，b>0)具有的类似的性质，并加以证明．

21．（本小题满分14分）已知f(x)=xln x，g(x)=x3+ax2-x+2.(1)求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)在［t,t+2］(t>0)上的最小值；（3）对一切x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立，求实数a的取值范围.

南昌三中2012—2013学年度下学期第一次月考

高二数学（文）答卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 12. 13.

14. 　 15.

三、解答题（共6小题，共75分，每题要有必要的解题步骤和文字说明）

16．(本题满分12分)设函数f(x)＝2x3-12x 。(1)求函数f(x)的单调递增区间，（2）求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．

17．（本小题满分12分）已知
是正实数，且
,求证：
＜
.

18．（本小题满分12分）求证：
（
是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与
轴有两个交点．

19.（本小题满分12分）已知曲线y=
+
.(1)求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

20．（本小题满分13分）已知椭圆具有如下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，则kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试写出双曲线－＝1(a>0，b>0)具有的类似的性质，并加以证明．

21．（本小题满分14分）已知f(x)=xln x，g(x)=x3+ax2-x+2.(1)求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)在［t,t+2］(t>0)上的最小值；（3）对一切x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立，求实数a的取值范围.

高二文科数学月考试卷答案

一选择题（共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）

1. D 2． D

3．解析　根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.

4． A解析　回归直线经过样本中心点(20,1008.6)，经检验只有选项A符合题意．

5．[答案]　C[解析]　∵函数y＝＋2x在x＝0处不可导，∴函数y＝＋2x在点x＝0处没有切线．

6． B

7．A解析　y′＝3ax2－1，由y′≤0得3ax2－1≤0.∴a≤0.

8．B

9．D解析　构造函数F(x)＝，则F′(x)＝＝<0，∴函数F(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则F(2)

10．D解析　观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n＋1的数对有n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由＝60?n(n＋1)＝120，n∈Z，n＝10时，＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60个数对是(5,7)．

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知函数
，则
-1

12．函数
在原点处的切线方程是

13．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.

【解析】　设父亲身高为x cm，儿子身高为y cm，则

x

173

170

176



y

170

176

182



＝173，＝176，＝＝1，

＝－ ＝176－1×173＝3，∴＝x＋3，当x＝182时，＝185.【答案】　185

14．(2009·福建文，15)若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

[答案]　(－∞，0)[解析]　本小题主要考查导数、导数的几何意义、不等式等基础知识．f′(x)＝2ax＋＝0有解(x>0)，即2ax2＝－1有解，∴a<0.

15．设P是边长为a的正三角形ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则h1＋h2＋h3＝a；类比到空间，设P是棱长为a的正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1＋h2＋h3＋h4＝________.

答案　a解析　如图，连接AP，BP，CP，DP，则正四面体ABCD可分成四个小三棱锥，根据体积相等可得，正四面体的体积为×a2×a＝×a2(h1＋h2＋h3＋h4)，所以h1＋h2＋h3＋h4＝a.

三、解答题（共6小题，共75分，每题要有必要的解题步骤和文字说明）

16．(本题满分12分)设函数f(x)＝2x3-12x 。(1)求函数f(x)的单调递增区间，（2）求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．

解析　(1)单调递增区间是(－∞，－)和(，＋∞)．

f(x)在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8.

17．（本小题满分12分）已知
是正实数，且
,求证：
＜
.

证明：方法一：由a,b,m是正实数，故要证
＜
,只要证a（b+m）＜b（a+m）,

只要证ab+am＜ab+bm，只要证am＜bm,而m＞0,只要证a＜b,

由条件a＜b成立，故原不等式成立.

方法二：
-
=
.因为a,b，m为正数，所以b（b+m）＞0,

又因为a＜b,所以a-b＜0，所以
-
＜0,即
＜
.

18．（本小题满分12分）求证：
（
是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与
轴有两个交点．

解：假设这三条抛物线全部与x轴只有一个交点或没有交点，则有

　三式相加，得a2+b2+c2－ab－ac－bc≤0

(a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0．

∴a=b=c与已知a，b，c是互不相等的实数矛盾，

∴这三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．

19.（本小题满分12分）已知曲线y=
+
.(1)求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

解：（1）因为y′=x2,所以在点P（2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4.所以曲线在点P（2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

(2)设曲线y=
+
与过点P（2，4）的切线相切于点A
,

则切线的斜率k=
，所以切线方程为y-
=
(x-x0),

即y=
·x-
.因为点P（2，4）在切线上，所以4=2
-
,

即
=0,所以
=0,所以
-4(x0+1)(x0-1)=0,

所以（x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

20．（本小题满分13分）已知椭圆具有如下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，则kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试写出双曲线－＝1(a>0，b>0)具有的类似的性质，并加以证明．

解析　双曲线的类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．下面给出证明：

设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，且－＝1.

又设点P的坐标为(x，y)，由kPM＝，kPN＝得kPM·kPN＝·＝，①

将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入①式，得kPM·kPN＝(定值

21．（本小题满分14分）已知f(x)=xln x，g(x)=x3+ax2-x+2.(1)求函数f(x)的单调区间；

（2）求函数f(x)在［t,t+2］(t>0)上的最小值；

（3）对一切x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立，求实数a的取值范围.

解：（1）f′(x)=ln x+1,令f′(x)<0,解得0

令f′（x)>0，解得x>
,所以f(x)的单调递增区间为（
，+∞）.

(2)当0

当0

当

时，f(x)在［t,t+2］上单调递增，所以f(x)min=f(t)=tln t.

所以

（3）由题意：2xln x≤3x2+2ax-1+2,即2xln x≤3x2+2ax+1.

因为x∈(0,+∞),所以a≥ln x-
x-
.设h(x)=ln x-
x-
,

则h′(x)=
-
+
=-
.

令h′(x)=0，得x=1或x=-
(舍去）.当00;当x>1时，h′(x)<0,

所以当x=1时，h(x)取得最大值，h(x)max=h(1)=-2.所以a≥-2.故实数a的取值范围是［-2，+∞).