金乡二中2012-2013学年高二下学期期中检测

数学（理）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A＝{x|x＜－1或x＞1}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（ ）

A. {x|x＞1} B. {x|x＞0} C. {x|x＜－1} D. {x|x＜－1或x＞1}

2.
－
等于（ ）

A. 3－4i B. －3＋4i C. 3＋4i D. －3－4i

3.已知M＝
dx，N＝cos215°－sin215°，则（ ）

A. M＜N B. M＞N C. M＝N D. 以上都有可能

4．已知二次函数y=ax2+bx+c，且a，b，c∈{0，2，4，6，8}，则不同的二次函数有（　　）

A．

125个

B．

100个

C．

60个

D．

48个



5．f（x）=3x﹣cos（2x）在（﹣∞，+∞） 上（　 　）

A．

是增函数

B．

是减函数

C．

有最大值

D．

有最小值



6．若a=∫02x2dx，b=∫02x3dx，c=∫02sinxdx，则a、b、c的大小关系是（　　）

A．

a＜c＜b

B．

a＜b＜c

C．

c＜b＜a

D．

c＜a＜b



7.
在
上单调递减，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

8.已知函数
在其定义域上没有极值，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.设
的三边长分别为
，
的面积为
,内切圆半径为
，则
。类比这个结论可知：四面体
的四个面的面积分别为
,内切球半径为
,四面体
的体积为
，则
( )

A.
B.

C.
D.

10．如果函数
对于区间D内任意的
，有


成立，称
是区间D上的“凸函数”．已知函数
在区间
上是 “凸函数”，则在△
中，
的最大值是（ ）

A.
B.
C.
D.

11．点
是曲线
上任意一点, 则点
到直线
的距离的最小值是（ ）

A. １ 　　 B.
　 C. ２ 　 D.

12.已知椭圆
＋
＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F，若椭圆上存在一个P点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.执行如图3所示的程序框图，输出结果是 .

14.已知函数f(x)＝x3＋f′(
)x2－x，则函数f(x)的图象

在点(
，f(
))处的切线方程是 .

15.如图4，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)＝2x2－2x

及直线y＝2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，

则该点落在阴影部分的概率为 .

16.函数f(x)（x∈R）满足f(1)＝1，且f(x)在R上的导函

数f′(x)＞
，则不等式f(lnx)＜
的解集为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分10分）

已知函数
.

（1）试问该函数能否在
处取到极值？若有可能，求实数
的值；否则说明理由；

（2）若该函数在区间
上为增函数，求实数
的取值范围.

18.（本小题满分12分）

数列
满足：
.

（1）写出
.

（2）求数列
的通项公式.

19．（本小题满分12分）

现有4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位．问：

（1）所有可能的坐法有多少种？

(2)此4人中甲，乙两人相邻的坐法有多少种？

(3)所有空位不相邻的坐法有多少种？

20. （本小题满分12分）

如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．

（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；

（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．

.

21. （本小题满分12分）

已知椭圆
过点
,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线
与
轴正半轴和
轴分别交于点
、
，与椭圆分别交于点
、
,各点均不重合且满足

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若
，试证明：直线
过定点并求此定点.

22. （本小题满分12分）

已知
为实数，函数
若
在区间
上恒成立，则称
和
在区间
上单调性一致.

（1）设
，若
和
在区间
上单调性一致，求
的取值范围.

（2）设
且
，若
和
在以
为端点的开区间上单调性一致，求
的最大值.

参考答案:

1-5 ABBBA 6-10 DCBCD 11-12 BA

13.
； 14. 27x＋27y＋4＝0； 15.
； 16.0＜x＜e .

17.解：（1）
，
，

若该函数能在
处取到极值，则
,

即
，此时，
，函数为单调函数，这与

该函数能在
处取到极值矛盾，则该函数不能在
处取到极值.

（2）若该函数在区间
上为增函数，

则在区间
上，
恒成立，

①
；

②
，

综上可知，
.

18.（1）解：因为
，所以
，

，
.

解法一：猜想：
.下面用数学归纳法证明，

证明:（1）当n=1时，
，满足上式，显然成立；

假设当n=k时
,那么当n=k+1时，

满足上式，

即当n=k+1时猜想也成立.

由（1）（2）可知，对于
都有
.

19.解：(1)4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位，所有可能的坐法种数是从六个元素中取四个元素的排列数，∴所有可能的坐法有
=360种． (2)4人中甲，乙两人相邻，用捆绑法得到4人中甲，乙两人相邻的坐法有
=120种． (3)所有空位不相邻用插空法，先把4人排成一排，有
种排法，再往4个人构成的个空中插入两个空座位，有
种插入方法，由乘法原理，得所有空位不相邻的坐法有
=240种．…12分

20.

解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．

则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）

∴
，

∴COS＜
＞=
=﹣

所以异面直线BE与AC所成角的余弦为

（2）设平面ABC的法向量为
则

知

知
取
，

则
…（10分）

故BE和平面ABC的所成角的正弦值为



21.解：(1)设椭圆方程为
，焦距为2c，

由题意知 b=1,且
，又

得
.

所以椭圆的方程为

(2) 由题意设
，设l方程为
，

由
知

∴
，由题意
，∴

同理由
知

∵
，∴

联立
得

∴需

且有

（***）代入（*）得
，∴
，

由题意
，∴
(满足（**）)，

得l方程为
,过定点(1,0),即P为定点.

22.解：（1）
，
，由题意知
在区间
上恒成立.因为a>0,故
，进而
，即
在区间
上恒成立，因此b的取值范围是
.

令
，解得
，若b>0,由a<0得
，

又因为
，所以函数
和
在
上不是单调一致的，

因此
.

那么，当
时，
，当
时
，

因此当
时
，故由题设得
且
，

从而
，于是
，因此
，且当
时等号成立，

又当
时，
，从而当
时
.

故函数
和
在
上是单调一致，因此
的最大值为
.-