天津一中2012—2013高二年级第二学期数学期中考试试卷（理科）

一、选择题：

1．复数2 ＝(　　)

A．－3－4i　　 B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i

2．下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）

A．两条直线平行，同旁内角互补，如果
和
是两条平行直线的同旁内角，则

B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

C．三角形内角和是
，四边形内角和是
，五边形内角和是
，由此得凸
多边形内角和是

D．在数列
中，
，
，由此归纳出
的通项公式

3.下列说法中，正确的是（ ）

A．命题“若
则
”的逆命题是真命题。

B．命题“
”的否定是“
”。

C．命题“
”为真命题，则命题
和命题
均为真命题。

D．已知
，则“
”是“
”的充分不必要条件。

4．设曲线
在点(3,2)处的切线与直线
垂直,则
( )

A．
B.
C.2 D.



6. 已知
，
是
的导函数，即
，
，…，
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

7．函数
在下面那个区间为增函数 ( )

A
B
C
D

8．已知命题
：实数m满足
，命题
：函数
是增函数。若
为真命题，
为假命题，则实数m的取值范围为（ ）

A.（1，2） B.（0，1） C. [1，2] D. [0，1]

9．若f(x)=
上是减函数，则b的取值范围是（ ）

A．[-1，+∞) B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）

10、若函数
在R上可导，且满足不等式
恒成立，且常数
满足
，则下列不等式一定成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

二．填空题：

11. 计算
所得的结果为__ __

12.设复数ｚ满足
（i是虚数单位），则
的实部是_________

13. 由曲线
，直线
及
轴所围成的图形的面积为

14．函数y=x+2cosx在区间[0，
]上的最大值是

15. 设直线
与函数
的图像分别交于点
，则当
达到最小时
的值为

16.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：
。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .

三．解答题：

17.设
的导数
满足
，
，其中常数
，
.

（1）求曲线
处的切线方程；

（2）设
，求函数
的极值.

18．已知数列
的前
项和为
。

（1）求
的值；

（2）猜想
的表达式；并用数学归纳法加以证明。

19.已知函数
，
，其中
．

（1）若
是函数
的极值点，求实数
的值；

（2）若对任意的
（
为自然对数的底数）都有
≥
成立，求实数
的取值范围．

20. 已知函数
.

（1）若
在
处取得极值，求
的值；

（2）讨论
的单调性；

（3）证明：
（
）为自然对数的底数）

参考答案：

一．选择题：

1． A

2． A　

3. B

4．D

5．A

6. B

7．C

8．A

9．C

10、C

二．填空题：

11. e

12. 1

13.

14．

15.

16.

三．解答题：

17.

解：（1）因
故
（1分）

令

由已知

又令
由已知

因此
解得
（4分）

所以

又因为
（5分）

故曲线
处的切线方程为

（6分）

（2）由（1）知
，

从而有
（8分）

令
得
解得
（9分）

当
上为减函数；

当
在（0，3）上为增函数；

当
时，
上为减函数；（12分）

从而函数
处取得极小值
处取得极大值
（14分）

18．

解：（I）

（Ⅱ）猜想

数学归纳法证明：（1）当
时，
猜想成立；

（2）假设
时猜想成立，即有：
，

则
时，因为
，

即：
；

由假设可知；

从而有
时，猜想成立；

由（1）（2）可知，
成立

19.

（1）解∵
，其定义域为
，

∴
．

∵
是函数
的极值点，∴
，即
．

∵
，∴
．

经检验当
时，
是函数
的极值点，

∴
．　

（2）对任意的
都有
≥
成立等价于对任意的

都有
≥
．

当

［1，
］时，
．

∴函数
在
上是增函数．∴
．

∵
，且
，
．

①当
且

［1，
］时，
，

∴函数
在［1，
］上是增函数，

∴
.

由
≥
，得
≥
，又
，∴
不合题意．

②当1≤
≤
时，

若1≤
＜
，则
，

若
＜
≤
，则
．

∴函数
在
上是减函数，在
上是增函数．

∴
.

由
≥
，得
≥
，又1≤
≤
，∴
≤
≤
．

③当
且

［1，
］时，
，

∴函数
在
上是减函数．

∴
.由
≥
，得
≥
，

又
，∴
．

综上所述，
的取值范围为
．

20.

解： （1）
是
的一个极值点，则

，验证知
=0符合条件. ………………………3分

（2）
. ………………………………4分

1）若
=0时，

单调递增，在
单调递减；……………………………5分

2）若

上单调递减. …………………………6分

3）若
.

.

再令

.

…………………………7分

在
.

综上所述，若
上单调递减

若

. ……………………8分

若
时，
在
单调递增，在
单调递减. ……………………9分

（3）法一：由（2）知，当

当
.

.…………………………………14分

法二：（数学归纳法）当
时，
成立；

假设当
时，

当
时，

令
，即

由（2）知当

当
.

，即

当
时不等式成立；

综上所证，当
时，不等式
成立.