黄陂一中2014届高二下学期期中考试数学试卷

第Ⅰ卷

一、选择题（每小题5分，共50分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1．设
是实数，且
是实数，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.如图是某花灯展中的一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是(　 　)

3.用数学归纳法证明“
”时，从
到
，等式的左边需要增乘的代数式是 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．若从
这10个数中任意取3个数，则这三个数互不相邻的取法有（ ）种

A.20 B.56 C.60 D.120

5.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为
，发球次数为
，若
的数学期望
，则
的取值范围是(　　)

A．
B．
C．
D．

6.
为常数，
的展开式中不含
的项的系数和为243，则
的值为（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6

7.定积分
等于 ( )

A．
B．
C．
D．

8.下列不等式对任意的
恒成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．定义在
上的单调递减函数
，若
的导函数存在且满足
，则下列不等式成立的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
在区间
上是减函数，则
的最小值是（ ）

A.4 B.2 C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题（每题5分，共25分。把答案填在题中横线上）

11. 已知函数
，则
。

12. 某学校新来了4名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙3个班级，每个班级至少分配1人，其中学生A不分配到甲班的分配方案种数是___________。

－1

0

1

2



P











13. 已知离散型随机变量
的分布列如右表，
,则
____________。

14. 已知复数
，并且
，则
的取值范围 .

15. 已知对任意平面向量
，把
绕其起点沿逆时针方向旋转
角得到向量：
，叫做把点
绕点
逆时针方向旋转
角得到点
.

(1)已知平面内点
,点
,把点
绕点
顺时针方向旋转
后得到点
的坐标是 .

(2)设平面内曲线
上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转
后得到的点的轨迹方程是： .

三、解答题（共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分12分）已知

（Ⅰ）若
，求
的值

（Ⅱ）求
（用
表示）

17.（本小题满分12分）袋子中装有大小形状完全相同的
个红球和
个白球，其中
满足
且
，若从中取出2个球，取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率．

（Ⅰ）求
，
的值；

（Ⅱ）从袋子中任取3个球，设取到红球的个数为
，求
的分布列与数学期望．

18. （本小题满分12分）（本小题满分12分）某工厂生产并销售某高科技产品，已知生产该产品的固定成本是
(单位：万元)，生产成本
(单位：万元)与生产的产品件数
(单位：万件)的立方成正比；该产品单价
(单位：元)的平方与生产的产品件数
(单位：万件)成反比，现已知生产该产品
万件时，其单价
元，生产成本
万元.且工厂生产的产品都可以销售完。设工厂生产该产品的利润为
(万元)（注：利润＝销售额－固定成本—生产成本）

（Ⅰ）求函数
的表达式.

（Ⅱ）当生产该产品的件数
(万件)为多少时，工厂生产该产品的利润最大．

19．（本小题满分12分）设函数

（Ⅰ）若
，求
的单调区间；

（Ⅱ）若当
时
，求
的取值范围．

20.（本小题满分13分）首项为正数的数列{
}满足
.

(Ⅰ)证明：若
为奇数，则对一切
，
都是奇数；

(Ⅱ)若对一切
，都有
，求
的取值范围。

21. （本小题满分14分）已知函数
，(
)；

（Ⅰ）若
是在定义域上有极值，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，若对
，总
，使得
，求实数
的取值范围.( 其中
为自然对数的底数)

（Ⅲ）对
，证明：

理数参考答案

一、BADBC CDAAB

二、11． －18 12. 24 13.
14.

15.
(2分)
(3分)

三、

16.（Ⅰ）
……6分

（Ⅱ）
……12分

17.（Ⅰ）依题意有
，即
，

则
是完全平方数 ……2分

又
且

则

……5分

（Ⅱ）
的取值为
……6分

……10分

的分布列为

0

1

2

3





P













……12分

18. （Ⅰ）依题意：设
，代入
得：

， …………………………(3分)

，故
……………………(6分)

（Ⅱ）
，则
(10分)

所以函数
在
，所以函数
在
处有极大值；因为
在
上只有唯一极值，所以函数
在
处有最大值;故当生产该产品
万件时，可以获得最大利润 …………(12分)

19.　(Ⅰ)
时，
,

当
时，
；当
时，
；

故
在
上单调递增，在
上单调递减． ……6分

(Ⅱ)
，

若
，则当
时，
，
为增函数，而
，从而当x≥0时
；

若
，则当
时，
，
为减函数，而
，从而当
时
.

综上得a的取值范围为
．……12分

20. （Ⅰ）已知
是奇数，假设
是奇数，其中
为正整数，

则由递推关系得
是奇数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

根据数学归纳法，对任何
，
都是奇数。……6分

（Ⅱ）（方法一）由
知，
当且仅当
或
。

另一方面，若
则
；若
，则

根据数学归纳法，

综合所述，对一切
都有
的充要条件是
或
。……13分

（方法二）由
得
于是
或
。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

因为
所以所有的
均大于0，因此
与
同号。

根据数学归纳法，
，
与
同号。

因此，对一切
都有
的充要条件是
或
。……13分

21.（Ⅰ）
的定义域为
，要
在定义域内有极值，则

有两不等正根，

…………………(4分)

（Ⅱ）
，要对
，总
，使得

则只需
，由
得函数
在
，所以函数
在
处有最大值； …………………………………………(6分)

;又
在
，

故

故有
……(9分)

（Ⅲ）当
时，
，
恒成立，故