考试范围：选修2-2，选修2-3第一章、第二章第一节

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．已知
，
是
的共轭复数，为虚数单位，则
=(▲)

A．
B．
C．
D．

2．观察下列等式，
，
，
根据上述规律，
(▲)

A．
B．
C．
D．

3．若a，b都是实数，则“a－b＞0”是“a2－b2＞0”的 （▲）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设随机变量的分布列为
，则
（▲）

A.
B.
C.
D.

5．在二项式
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第6项是 （▲）

6．函数
的图像如图所示，
为
的导函数，则
，
的大小关系是（▲）

A.

B.

C.

D.

7．若
，则
等于（▲）

A.
B.
C.
D.

8．有9 名翻译人员，其中6人只能做英语翻译，2人只能做韩语翻译，另外1人既可做英语翻译也可做韩语翻译．要从中选5人分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，三个需要英语翻译，则不同的选派方法数为（▲）

A．900 　B．800 C．600 D．500

9．
的展开式中，
的系数可以表示从个不同物体中选出
个的方法总数.下列各式的展开式中
的系数恰能表示从重量分别为
克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为
克的方法总数的选项是（▲）

A．

B．

C．

D．

10．若函数
，则对于不同的实数a，函数
的单调区间个数不可能是（ B ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.5个

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．复数
的虚部是 ▲ ．

12．计算：
＝　▲　．

13．在4名男生3名女生中，选派3人作为“519中国旅游 日庆典活动”的志愿者，要求既有男生又有女生，且男生甲和女生乙至多只能一人参加，则不同的选派方法有 ▲ 种（用数作答）.

14．设
，函数
，若对任意的
，都有
成立，则的取值范围为 ▲ ．

15．对于三次函数
，定义
是
的导函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：

①任意三次函数都关于点
对称：

②存在三次函数
有实数解
，点
为函数
的对称中心；

③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；

④若函数
，则:

其中正确命题的序号为__ ▲__(把所有正确命题的序号都填上）.

三、解答题（本题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16．已知
，且
展开式的各式系数和为243.

（I）求a的值。

（II）若
，求
中含
的系数。

17．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分 . 现从盒内任取3个球

（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；

（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；

（Ⅲ）设
为取出的3个球中白色球的个数，求
的分布列.

18．已知函数
.

（I）若
，求
在
处的切线方程；

（II）求
在区间
上的最小值.

19. 设数列
满足
．

（Ⅰ）求
，并由此猜想
的一个通项公式，证明你的结论；

（II）若
，不等式
对一切
都成立，求正整数m的最大值。

20．已知函数

（Ⅰ）若
有两个极值点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当
时，讨论函数
的零点个数.

杭西高2013年5月考高二数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．已知
，
是
的共轭复数，为虚数单位，则
=( D )

A．
B．
C．
D．

2．观察下列等式，
，
，
根据上述规律，
( 　C　)

A．
B．
C．
D．

3．若a，b都是实数，则“a－b＞0”是“a2－b2＞0”的 （ D ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设随机变量的分布列为
，则
（ C ）

A.
B.
C.
D.

5．在二项式
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第

6项是 （ C ）

6．函数
的图像如图所示，
为
的导函数，则
，
的大小关系是（ D ）

A.

B.

C.

D.

7．若
，则
等于（ C ）

A.
B.
C.
D.

8．有9 名翻译人员，其中6人只能做英语翻译，2人只能做韩语翻译，另外1人既可做英语翻译也可做韩语翻译．要从中选5人分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，三个需要英语翻译，则不同的选派方法数为（A ）

A．900 　B．800 C．600 D．500

9．
的展开式中，
的系数可以表示从个不同物体中选出
个的方法总数.下列各式的展开式中
的系数恰能表示从重量分别为
克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为
克的方法总数的选项是（ A ）

A．

B．

C．

D．

10．若函数
，则对于不同的实数a，函数
的单调区间个数不可能是（ B ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.5个

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．复数
的虚部是 1 ．

12．计算：
＝　31　　．

13．在4名男生3名女生中，选派3人作为“519中国旅游 日庆典活动”的志愿者，要求既有男生又有女生，且男生甲和女生乙至多只能一人参加，则不同的选派方法有 25 种（用数作答）.

14．设
，函数
，若对任意的
，都有
成立，则的取值范围为
．

15．对于三次函数
，定义
是
的导函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：

①任意三次函数都关于点
对称：

②存在三次函数
有实数解
，点
为函数
的对称中心；

③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；

④若函数
，则:

其中正确命题的序号为__ 1,2,4___(把所有正确命题的序号都填上）.

三、解答题（本大题共5小题，共50分）

16．已知
，且
展开式的各式系数和为243.

（I）求a的值。

（II）若
，求
中含
的系数。

17．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分 . 现从盒内任取3个球

（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；

（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；

（Ⅲ）设
为取出的3个球中白色球的个数，求
的分布列.

18．已知函数
.

（I）若
，求
在
处的切线方程；

（II）求
在区间
上的最小值.

解：（I）
，
。所以
在
处的切线方程为：

即

（II）
，令
；

当
时，函数
在区间
上递增，所以
；

当
即
时，由（I）知，函数
在区间
上递减，
上递增，所以
；

当
时，函数
在区间
上递减，所以
。

19. 设数列
满足
．

（Ⅰ）求
，并由此猜想
的一个通项公式，证明你的结论；

（II）若
，不等式
对一切
都成立，求正整数m的最大值。

=

20．已知函数

（Ⅰ）若
有两个极值点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当
时，讨论函数
的零点个数.

问题条件等价于
的图象与轴正半轴有两个不同的交点，等价于
，……（评分参照法2）

（Ⅱ）法1：（1）当
时，
，

由
得，
，解得
，

由
得，
，解得
，