厦门六中2012-2013学年下学期高二期中考试

数学(理科) 试卷

满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：蔡启明 命题时间：2013-4-18

第I卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案填在答卷纸上.

1. 如图，下列哪个运算结果可以用向量
表示 （ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知函数
,若
，

则实数的值为 （ ）

A. B.
C.
D.

3用反证法证明命题“若
都是正数，则
三数中至少有一个不小于”，提出的假设是 （ ）

A．
不全是正数 B．
至少有一个小于

C．
都是负数 D．
都小于

4．若
，
，
，则、、大小关系是

A．
D．
B．
C．

5．函数
的单调递增区间是 ( )

A.
B.
C.
D.

6.从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数，组成复数
，其中虚数有

A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 （　 ）

7．.已知f(n)＝+＋＋＋…＋，则(　　)

A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋

B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1+＋＋

C．f(n)中共有n2－n+2项，当n＝2时，f(2)＝1+＋+

D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1+＋＋

8．对于函数
(a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(2)和f(－2)，所得出的正确结果一定不可能是(　　)

A．3和1 B．1和2 C．2和4 D．4和6

9．如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有
个点，每个图形总的点数记为
，则则
(　　)

?

A．
B．
C．
D．

10．已知
，且
．现给出如下结论：①
； ②
； ③
；

④
． ⑤
； ⑥
其中正确结论的序号是（　　）

A.②③⑤ B.②④⑥ C.①③⑤ D.①④⑥

二、填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分.将答案填在答卷纸上.

1．函数
的最大值为________．

2．一物体沿直线以速度
（的单位为:秒,的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程是_______米

3．已知曲线
则曲线在点
处的切线方程为 ．

4．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中数字1，2相邻.这样的五位数

有 个．

5现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为
，类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．

6．记
，
，…，

．

若
，则
的值为 .

三、、解答题(本小题共6小题,共76分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分10分已知复数
.

（Ⅰ）求及
；（Ⅱ）若
，求实数
的值．

18．(本小题满分12分)给定数字0、1、2、3、5、9每个数字最多用一次（用数字作答）

（1）可组成多少个四位数？（2）可组成多少个四位奇数？

（3）可组成多少个四位偶数？（4）可组成多少个整数？

19．(本小题满分12分)已知
，
，且
．

(1) 求证：
.（2）求证：
.

20．(本小题满分14分) （14分）已知函数
（a∈R）．

(1)若
在
上是增函数，求a的取值范围；

（2）若
,证明：
.

21. (本小题满分14分)已知函数
，且任意的

（1）求
、
、
的值；

（2）试猜想
的解析式，并用数学归纳法给出证明.

22. (本小题满分14分)已知函数
，其中
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若直线
是曲线
的切线，求实数的值；

（Ⅲ）设
，求
在区间
上的最大值.（为自然对数的底数）

厦门六中2012-2013学年下学期高二期中考试

数 学(理科) 答 题 卷

满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：蔡启明 命题时间：2013-4-18

题号

一

二

17

18

19

20

21

22

总分



满分

50

24

10

12

12

14

14

14

150



得分





















二、填空题（每小题4分，共24分）

11、 12、

13、 14、

15、 16、

三、解答题(本小题共6小题,共76分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

厦门六中2012-2013学年下学期高二期中考试

数学(理科) 试卷

满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：蔡启明 命题时间：2013-4-18

第I卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案填在答卷纸上.

1. 如图，下列哪个运算结果可以用向量
表示 （ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知函数
,若
，则实数的 值为 （ ）

A. B.
C.
D.

3．用反证法证明命题“若
都是正数，则
三数中至少有一个不小于”，提出的假设是 （ ）

A．
不全是正数 B．
至少有一个小于

C．
都是负数 D．
都小于

4．若
，
，
，则、、大小关系是

A．
D．
B．
C．

5．函数
的单调递增区间是 ( )

A.
B.(0,3) C.(1,4) D.

6.从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数，组成复数
，其中虚数有

A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 （　 ）

7．.已知f(n)＝+＋＋＋…＋，则(　　)

A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋

B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1+＋＋

C．f(n)中共有n2－n+2项，当n＝2时，f(2)＝1+＋+

D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1+＋＋

8．对于函数
(a，b∈R，c∈Z)选取a，b，c的一组值计算f(2)和f(－2)，所得出的正确结果一定不可能是(　　)

A．1和3 B．1和2 C．2和4 D．4和6

9．如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1）（n∈N）个点，每个图形总的点数记为an，则则
(　　)

?

A．
B．
C．
D．

10．已知
，且
．现给出如下结论：①
； ②
； ③
；

④
． ⑤abc＜4； ⑥abc＞4其中正确结论的序号是（　　）

A.②③⑤ B.②④⑥ C.①③⑤ D.①④⑥

二、填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分.将答案填在答卷纸上.

1．函数
的最大值为__
______．

2．一物体沿直线以速度
（的单位为:秒,的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程是__10______米

3．已知曲线
则曲线在点
处的切线方程为
．

4．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中数字1，2相邻.这样的五位数

有_ 36_个．

5现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为
，类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为____
____．

6．记
，
，…，

．

若
，则
的值为 1007 .

三、、解答题(本小题共6小题,共76分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分10分已知复数
.

（Ⅰ）求及
；（Ⅱ）若
，求实数
的值．

17. (本小题满分10分解：
--------------------------------3分

---------------------------5 分

则得
，得
------------------- 8分

解得
------------------------------------------- 1 0分

18．(本小题满分12分)给定数字0、1、2、3、5、9每个数字最多用一次

（1）可组成多少个四位数？（2）可组成多少个四位奇数？（3）可组成多少个四位偶数？（4）可组成多少个整数？

18. (本小题满分12分解：（1）
---------3分（2）
---3分

（3）
----3分（4）六位数：
五位数：
四位数：
三位数：
二位数：
一位数：

共：6+25+100+300+600+600=1631---------3分

19．(本小题满分12分)已知
，
，且
．

(1) 求证：
.（2）求证：
.

19 (本小题满分12分)

(1) 证明：（综合法）
，a＋b＋c=0，∴0 =a＋b＋c

∴
…4分

（反证法）假设a≤0，
∴

这与a＋b＋c=0矛盾，假设不成立，故
…4分

（2）证明：（法一）由(1)知
，及0 =a＋b＋c
∴
---6 分

∴
---8 分

--12 分

（法二）
--6 分

--10 分

--12 分

20．(本小题满分14分) （14分）已知函数
（a∈R）．

(1)若
在[1，e]上是增函数，求a的取值范围；

（2）若a=1，1≤x≤e,证明：
<
.

20．(本小题满分14分).解：(1)∵
,且在[1,e]上是增函数,

∴
≥0恒成立，

即a≥-
在[1,e]上恒成立, ∴a≥-1

（2）证明：当a=1时，
x∈[1,e]．

令F(x)=
-
=
-
,

∴
,∴F(x) 在[1,e]上是减函数，

∴F(x)≤F(1)=
∴x∈[1,e]时，
<

21. (本小题满分14分)

已知函数
，且任意的

（1）求
、
、
的值；（2）试猜想
的解析式，并用数学归纳法给出证明.

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，
∴猜想正确；……………7分

②假设当

那么当

所以，当
时，猜想正确

由①②知，对
，
正确.……………………14分

22. (本小题满分14分)已知函数
，其中
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若直线
是曲线
的切线，求实数的值；

（Ⅲ）设
，求
在区间
上的最大值.（其中为自然对数的底数）

22. (本小题满分14分)

解：（Ⅰ）
，（
）， ……………3分

在区间
和
上，
；在区间
上，
.

所以，
的单调递减区间是
和
，单调递增区间是
. ………4分

（Ⅱ）设切点坐标为
，则
…………7分（1个方程1分）

解得
，
. ……………8分

（Ⅲ）

，则
， … ……9分

解
，得
，

所以，在区间
上，
为递减函数，

在区间
上，
为递增函数. ……………10分

当
，即
时，在区间
上，
为递增函数，

所以
最大值为
. …………11分

当
，即
时，在区间
上，
为递减函数，

所以
最大值为
. …………12分

当
，即
时，
的最大值为
和
中较大者；

，解得
，

所以，
时，
最大值为
， …………13分

时，
最大值为
. ………………14分

综上所述，当
时，
最大值为
，当
时，
的最大值为
.