包头一中2012—2013学年度第二学期月考试题

高二年级文科数学试题

命题人：李彩燕 审题人：尚彦 赵胜凡 张涛

一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应的位置.）

1. 复数设i为虚数单位，则＝( ).

A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i

2．点A的极坐标是
，它关于极点的对称点为B，B关于极轴的对称点为C， 则C点的极坐标为（ ）.

3．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是（ ）.



A.①、② B.③、④ C.①、③ D.①、④

4. 以双曲线
的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（　　）.

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

5. 已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）.

A．
B．
C．
D．

6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是（　 　）.

A．甲　　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁

7.椭圆
上一点M到焦点
的距离为2，
是
的中点，则
等于（ ）.

A．4 B．2 C．
D．

8. 如果执行如图的程序框图，输入
，那么输出的
等于( ).

A .720 B. 360 C. 240 D. 120

9．若曲线
在
处的切线垂直于直线
，则
点的坐标为( ).

A .
B.

C .
和
D.
和

10．设P是双曲线
与圆
在第一象限的交点，
分别是双曲线的左右焦点，且
则双曲线的离心率为（　　）.

A．
　B．
　C．
　D．

11．在区间
任取一个元素
，抛物线
在
处的切线的倾斜角为
，则
的概率为( ).

12．已知
为定义在
上的可导函数，且
对于
恒成立，且
为自然对数的底，则( ).

A.
B.

C.
D.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应的位置.）

13.在同一平面直角坐标系中，直线
变成直线
的伸缩变换是 .

14．已知
，O为极点，则使
是正三角形的
点极坐标为 ；将
绕极点O逆时针转
得到点B，且
则点B的直角坐标为 .

15.
分别是双曲线
的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是
的内心，且
，则
= _________.

16. 已知抛物线
的焦点
和点
为抛物线上一点，则
的最小值是 .

三.简答题：（本大题共6小题，共70分。解答题应写在答题卡上相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分10分）

（1）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。

（2）在极坐标系中，求点P
到直线
的距离。

18. （本小题满分12分）

某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12中，有9人认为作业多，3人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有4人认为作业多，6人认为作业不多.

（1）根据以上数据建立一个
列联表；

（2）能否有90%的把握认为喜欢电脑游戏与作业多少有关？

（可能用到的公式：
，可能用到数据：
，
，
，
.）

19. （本题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的极值点；

（2）若直线
过点（0，—1），并且与曲线
相切，求直线
的方程；

（3）设函数
，其中
，求函数
在
上的最小值.

（其中e为自然对数的底数）

20.（本小题满分12分）

已知直线
与抛物线
交于两点
，与
轴相交于点
，且
.（1）求证：
点的坐标为
；（2）求证：
； （3）求
的面积的最小值.

21. （本小题满分12分）

设函数
，其中
．

（1）若函数
仅在
处有极值，求
的取值范围；

（2）若对于任意的
，不等式
在
上恒成立，求
的取值范围．

22.（本题满分12分）已知△
的两个顶点
的坐标分别是
，且
所在直线的斜率之积等于
．

（Ⅰ）求顶点
的轨迹
的方程，并判断轨迹
为何种圆锥曲线；

（Ⅱ）当
时，过点
的直线
交曲线
于
两点，设点
关于
轴的对称点为
(
不重合) 试问：直线
与
轴的交点是否为定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.

包头一中2012—2013学年度第一学期月考试题答案

一、选择题：1.C2.D3.B4.D5.D6.C7.A8.B9.D10.D11.C12.A

二 、填空题： 13.
14．
或
；
15.
16.9

三.简答题：17．（1）a=2或a=-8（2）

18.（1）根据题中所给数据，得到如下列联表：

认为作业多

认为作业不多

总　　计



喜欢玩电脑游戏

9

3

12



不喜欢玩电脑游戏

4

6

10



总　　计

13

9

22



（2）

　∴

　∴有90%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关.

19. （1）
是函数
的极小值点，极大值点不存在.（2）
（3）
时，
的最小值为0；当1＜a＜2时，
的最小值为
；

当
时，
的最小值为

20. (1 ) 设
点的坐标为
, 直线
方程为
, 代入
得

①
是此方程的两根,

∴
，即
点的坐标为（1, 0）.

(2 ) ∵

∴

∴
.

（3）由方程①，
,
, 且
,

于是

=
≥1，

∴ 当
时，
的面积取最小值1.

21. （本小题共12分）

（1）解：
，显然
不是方程
的根。为使
仅在
处有极值，必须
恒成立，即有
．

解此不等式，得
．这时，
是唯一极值．

因此满足条件的
的取值范围是
．（2）解：由条件
可知
，从而
恒成立．

当
时，
；当
时，
．

因此函数
在
上的最大值是
与
两者中的较大者．为使对任意的
，不等式
在
上恒成立，当且仅当
即
在
上恒成立．所以
，因此满足条件的
的取值范围是
．

22. （1）由题知：
，化简得：

当
时 轨迹
表示焦点在
轴上的椭圆，且除去
两点；

当
时 轨迹
表示以
为圆心半径是１的圆，且除去
两点；

当
时 轨迹
表示焦点在
轴上的椭圆，且除去
两点；

当
时 轨迹
表示焦点在
轴上的双曲线，且除去
两点；

（2）设

依题直线
的斜率存在且不为零，则可设
:
，

代入
整理得

，
， 又因为
不重合，则

的方程为
令
，得
故直线
过定点
.

故直线
过定点
. 解二：设

依题直线
的斜率存在且不为零，可设
:

代入
整理得：

,
，
的方程为
令
，得

直线
过定点