高二月考数学（理科）试题

第I卷

选择题（每小题5分，共60分）

1.已知向量
的夹角为 ( )

A.0° B.45° C.90° D.180°

2．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且
a＋b与2 a－b互相垂直，则
的值是（ ）

A． 1 B．
C．
D．

3．曲线
在点
处的切线方程为（ ）．

A．
B．
C．
D．

4.已知
( )

A.
B.5，2 C.
D.-5，-2

5．函数
的定义域为开区间
，导函数

在
内的图象如图所示，

则函数
在开区间
内有极小值点

（　　 ）

　 A．　1个　　　B．2个　　　C．3个　　　　D． 4个

6．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

7．由抛物线
与直线
所围成的图形的面积是（ ）．

A．
B．
C．
D．

8. 已知函数
在
处可导，则
等于 （ ）

A．
　　　B．２
　　　C．－２
　　D．０

9．函数
，则导数
=（ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知对任意实数，有
，且
时，
，则
时（ ）

A．
B．

C．
D．

11.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 ( )

A.
B.
C.
D.

12．设
是函数
的导函数，将
和
的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

第II卷

填空题（每小题4分，共16分）

13．函数
的单调递增区间是________________．

14．已知函数
在区间
上的最大值与最小值分别为
，则
___________．

15．正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，则侧棱与底面所成的角为 ．

16．
___________ .

三． 解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题12分）

已知
，求
的值.

18.（本小题12分）

已知函数
在
处取得极值.

(1)讨论
和
是函数
的极大值还是极小值;

(2)过点
作曲线
的切线,求此切线方程.

19．（本小题12分）

如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．

（1）求直线EC1与FD1所成的余弦值．

（2）求二面角C-DE-C1的正切值；

20．（本小题12分）

用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

21．（本小题12分）

如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．

（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；

（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，

使得PQ⊥QD？

（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时，

求二面角Q-PD-A的大小．

22.（本小题14分）

已知

（1）当
时，求函数的单调区间。

（2）当
时，讨论函数的单调增区间。

（3）是否存在负实数，使
，函数有最小值－3？

高二月考数学（理科）答案

一．选择题 CDBAA DAADB BD

二．填空 13.
14. 32 15.
16. 5

17.解：由
………………………………3分

又
即

………………………………………………6分

由①②有：
………………10分

…………………………………………12分

18．解：（1）
，依题意，

，即
解得
┅┅ （3分）

∴
，∴

令
，得

若
，则

故
在
上是增函数；

若
，则

故
在
上是减函数；

所以
是极大值，
是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分）

（2）曲线方程为
，点
不在曲线上。

设切点为
，则

由
知，切线方程为

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （9分）

又点
在切线上，有

化简得
，解得

所以切点为
，切线方程为
┅┅┅┅┅┅ （12分）

19．（1）如图，以A为原点，
分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系 A-xyz，则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4， 3，2)．

于是，
，

． 设EC1与FD1所成角为(，则

． ………4分

（2）设向量
与平面C1DE垂直，则有

．

∴
其中z＞0．

取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量．

∵向量
=（0，0，2）与平面CDE垂直，

∴n0与
所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角．

∵
， ………………10分

∴
． ………………………………………………12分

20．解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，

则高为
. ………2分

故长方体的体积为

………………4分

从而

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. ……………8分

当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜
时，V′（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 ………10分

从而最大体积V＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. ┅11分

答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。 12分

21．（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分

别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．

∵PA=AB=1，BC=a，

∴P（0，0，1），B（1，1，0），

D（0，a，0）． …………2分

（2）设点Q（1，x，0），则

．

由
，得x2-ax+1=0．

显然当该方程有实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a2-4≥0．

因a>0，故a的取值范围为a≥0． ……………6分

（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点．

取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连结QM、QN．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．

∵D、N、P三点共线，

∴
．

又
，且
，

故
．

于是
．

故
．

∵
，

∴
．

∴∠MNQ为所求二面角的平面角．

∵
，

∴所求二面角为
． …………………………12分

22．（1）当a=1时，

或

递减;

递增; ……3分

（2）

①当


递增;

②当


递增;

③当

或

递增;

④当


递增;

⑤当

或

递增; …………8分

（3）因
由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：

①当


递增，
，解得

②当
由单调性知：
，化简得：
，解得

不合要求；

综上，
为所求。 ………………………………14分