西湖高级中学2012-2013学年高二3月月考数学理试题

一、选择题（每小题4分，共40分）

1、在复平面内，复数
对应的点位于（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

2、设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是（ ）

A、ad－bc=0 B、ac－bd=0 C、ac+bd=0 D、ad+bc=0

3、
在区间
上的最大值是（ ）

A、－2 B、0 C、 2 D、4

4、已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈（a，b）则
的值为（ ）

A、f’(x0) B、2 f’(x0) C、-2 f’(x0) D、0

5、f(x) =ax3+3x2+2，若f’(-1)=4，则a的值为（）

A、
B、
C、
D 、

6、设y=8x2-lnx，则此函数在区间(0,
)和(
,1)内分别为（）

A、单调递增，单调递减 B、单调递增，单调递增

C、单调递减，单调递增 D、单调递减，单调递减

7、曲线y=x3+x-2?在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0点的坐标是（）

A、(0,1) B、(1,0) C、(-1,0) D、(1,4)

8、设 y=loga
(a>0,a≠1)，则y’=( )

A、
B、
lna C、—
logae D、
logae

9、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖。”乙说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了。”丁说：“是乙获奖。”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

10、当
时，有不等式 （ ）

　 A、
　　 B、当
时
，当
时

　 C、
　　　 D、当
时
，当
时

二、填空题（4小题，共20分）

11、y=x2ex的单调递增区间是

12、函数y=x+2cosx在区间[0，
]上的最大值是 。

13、观察圆周上n个不同点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，即
……，由此规律可归纳得出

。

14、已知函数
在
上单调递减，在
上单调递增，且函数
的导数记为
，则下列结论正确的是 .（填序号）

①
是方程
的根；②1是方程
的根；③ 有极小值
；

④有极大值
； ⑤
。

15、若三角形的内切圆的半径为
，三边长为
，则三角形的面积
；根据类比的思想，若四面体的内切球的半径为R，四个面的面积为
，则四面体的体积
＝ 。

三、解答题（每小题10分，共40分）

16．用数学归纳法证明

12＋22＋…＋n2＝(n∈N*)．

17、设函数f(x)=

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）讨论f(x)的极值。

18、已知
，

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，利用①的结论求
的最大值。

19、把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为
cm的相等的正方形，然后折成一个高度为
cm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数
，

（Ⅰ）用
和
表示出长方体的体积的表达式
，并给出函数的定义域；

（Ⅱ）问
取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？

第二部分：加试题

（说明：月考成绩为第一部分得分除以2再加上第二部分得分）

2.若f（x）=x3-ax2-3x在x∈[1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围 ▲

3．若不等式
＞0对于满足条件
＞
＞
的实数
、
、
恒成立，则实数
的取值范围是 ▲ ．

4．已知直线
与抛物线
交于
两点，且
，又
于
， 若动点
的坐标满足方程
，则
▲ ．

二、解答题：（每题15分，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15.如图：在直三棱柱
中，
，
．

（Ⅰ）若异面直线
与
所成的角为
，求棱柱的高
；

（Ⅱ）设
是
的中点，
与平面
所成的角为
，

当棱柱的高
变化时，求
的最大值．

16.已知函数
（b为常数）．

（Ⅰ）函数
的图象在点（
）处的切线与函数
的图象相切，求实数
的值；

（Ⅱ）设
，若函数
在定义域上存在单调减区间，求实数
的取值范围；

参考答案

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝

那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2

＝＋(k＋1)2＝

＝＝

＝，

即当n＝k＋1时等式也成立．

根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．

17. 解析由已知得
，令
，解得
。

（Ⅰ）当
时，
，
在
上单调递增；……………4分

当
时，
，
随
的变化情况如下表：



0











+

0



0









极大值



极小值





从上表可知，函数
在
上单调递增；在
上单调递减；

在
上单调递增。 ………………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
时，函数
没有极值；当
时，函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值

18、（一）①证明
，

两式相加可得

当且仅当
时等号成立

②

则
，当且仅当
时等号成立。

19.、解析：（1）设长方体高为
cm，则底面边长为
，

长方体容积（单位：cm3）
；

∵
. 即函数定义域为
，

（2）

令
于是

x

（0，10）

10

（10，30）



V'（x）

+

0

－



V（x）

↑



↓



①当
在x=10时，V取得最大值为

；

②当

取得最大值

.

加试部分

1.
2.
3. （-∞,4） 4.4

5 解法1：（Ⅰ）由三棱柱
是直三棱柱可知，
即为高，

如图1，因为
，所以
是异面直线
与
所成的角或其补角，

连接
，因为
，所以
.

在Rt△
中，由
，
，可得
. 3分

又异面直线
与
所成的角为
，所以
，即△
为正三角形.

于是
.

在Rt△
中，由
，得
，即棱柱的高为
. 6分

（Ⅱ）设
，如图1，过点
在平面
内作
于F，则

由
平面
，
平面
，得
.

而
，所以
平面
.

故
就是
与平面
所成的角，即
. 9分

（Ⅰ）因为异面直线
与
所成的角
，所以
，… 4分

即
，得
，解得
. ………… 6分

（Ⅱ）由
是
的中点，得
，于是
.

设平面
的法向量为
，于是由
，
，可得

即
可取
， ………… 8分

于是
.

而
.…… 12分

令
，

因为
，当且仅当
，即
时，等号成立.

所以
，

故当
时，
的最大值
. ……… 15分

6.解：（Ⅰ）因为
，所以
，因此
，

所以函数
的图象在点（
）处的切线方程为
，…………3分

由
得
，

由
，得
……………………7分

（Ⅱ）因为
，

所以
，