山东省聊城市某重点高中2012-2013学年下学期高二3月模块测试

文科数学试题

第I卷（选择题）

一、选择题

1.与直线
关于
轴对称的直线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

2.直线l与球O有且只有一个公共点P,从直线l出发的两个半平面
截球O的两个截面圆的半径分别为1和
.若二面角
的平面角为150°,则球O的表面积为

(A)
(B)
(C)
(D)

3.设
是两条不重合的直线，
、
是两个不重合的平面，给出下列四个命题：

①若


，


，
∥
，
∥
，则
∥
②
⊥
，
⊥
，则
∥
③若
⊥
，
⊥
，则
∥
④若
⊥
，


，则
⊥
，其中正确的命题个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4.过点P（1，2）作直线，使直线与点M（2，3）和点N（4，–5）距离相等，则直线的方程为 （ ）A．
B．
或

C．
D．
或

5.如右图，某简单几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是边长为1的正方形，且其体积为
，则该几何体的俯视图可以是

6.如图，在三棱锥S—ABC中，SA丄平面ABC,SA = 3，AC=2， AB丄BC，点P是SC的中点，则异面直线SA与PB所成角的正弦值为

(A)
(B)

(C)
(D)

7.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
，经过这3个点的小圆的周长为
，那么这个球的半径为（?? ）

A．
??? B．
?? C．2??? D．

8.设变量x，y满足
，则
的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.设
，
满足约束条件
，若目标函数
的最小值为.

A.
B.
C.
D.

10.下列函数中，最小值是4的是（ ）

A.
B.

C.
，
，
　D.

11.正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为

(A)
(B)
(C)
(D)

12.在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边 界），若目标函数
取得最小值的最优解有无数 个，则
的最大值是

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题）

二、填空题

13.若
，则
的最小值是 。

14.与A(-1，2，3)，B(0，0，5)两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件为__________．

15.设实数
满足
，则
的最大值是__________．

16.若向量
，
，
，则
（用
表示）

三、解答题

17.（12分）已知向量
满足
求
。

18.（12分）已知直线分别与
轴、
轴交于
点，且和圆C：
相切，(其中a>2,b>2) 问:

（1）
应满足什么条件 （2）求线段AB长度的最小值

19.（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=

（I）证明AD
平面PAB；

（II）求异面直线PC与AD所成的角正切值；

（III）求二面角P―BD―A的大小的正切值。

20.(本小题满分13分)

如图5所示，在四棱锥
中，
平面
，
，
是
中点，
是
上的点，且
，
为
中
边上的高。

（1）证明：
平面
；

（2）若
，求三棱锥
的体积；

（3）证明：
平面
．

21.（本题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．

(1)证明PB∥平面ACM；

(2)证明AD⊥平面PAC；

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

22.（本小题满分12分）如下左图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所

在的平面，BC＝
，且M为BC的中点.求二面角P－AM－D的大小．



试卷答案

1.A2.C3.B4.D5.D6.C7.B8.B9.D10.D11.D12.B

13.4

14.2x-4y+4z=11

15.

16.

17.

18.(1) ab-2a-2b+2=0 (2)2+2

19.解：（Ⅰ）证明：在
中，由题设
可得

于是
.在矩形
中，
.又
，

所以
平面
.

（Ⅱ）证明：由题设，
，所以
（或其补角）是异面直线
与
所成的角.

在
中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知
平面
，
平面
，

所以
，因而
，于是
是直角三角形，故

所以异面直线
与
所成的角的大小为
.

（Ⅲ）解：过点P做
于H，过点H做
于E，连结PE

因为
平面
，
平面
，所以
.又
，

因而
平面
，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，

，从而
是二面角
的平面角。

由题设可得，

于是再
中，

所以二面角
的大小为
．

略

20.（1）
平面
，
面

又
面

（2）
是
中点
点
到面
的距离

三棱锥
的体积

（3）取
的中点为
，连接

，又
平面

面
面

面

点
是棱
的中点

得：
平面

21解析：　(1)证明：如图，连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．

又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB?平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平面ACM.

(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.

(3)如图，取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，

DO＝.从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，

即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.

22.解：以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，

建立如图所示的空间直角坐标系
,依题意可得



∴

…… 3分

设
，且
平面PAM，则

即
∴
，
取
，得
…… 8分

取
，显然
平面ABCD，

∴
结合图形可知，

二面角P－AM－D为45° ……12分