考试时间：120分钟 满分：150分

参考公式

选择题(每题5分,共40分,每小题答案唯一)

1.在复平面内,复数
对应的点位于( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

2.函数
的递增区间是( )

(A)
(B)
(C)
(D)

3.若
,则
的值为( )

(A) 0 (B) 15 (C) 16 (D) 17

4.异面直线
、
，
上有5个不同点，
上有4个不同点，这9个点一共可组成直线的条数为（ ）

(A) 9 (B) 10 (C) 20 (D) 22

5．用数学归纳法证明
从“k到k+1”左端需增乘的代数式是（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

6．有4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有（ ）

(A) 2880 (B)3080 (C)3200 (D) 3600

7．12名同学分别到三个企业进行社会调查，若每个企业4人，则不同的分配方案共有（ ）种。

(A)
(B)
(C)
(D)

8．已知
若当
时，
的值都能被9整除.则的最小值为( )

(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2

二.填空题(每题5分,共30分)

9.实数
满足
则

10.利用定积分的几何意义,求

11.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的三位数,其中能被3整除的有_______个(用数字作答).

12.某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种,现在餐厅准备了五种不同的荤菜.若要保证每位顾客有200种以上不同选择,则餐厅至少还需要准备不同的素菜品种数为__________.

13.如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当FB⊥AB时,其离心率为
此类椭圆被称为“黄金椭圆”， 类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率等于____________.

14.如图,有一列曲线
是对
进行如下操作得到:将
的每条边三等份,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,…).则
边数为________,
边数为________.由此,推测出
的边数为_______.

三.解答题:本题共6小题,80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.

15.(满分12分)已知
的展开式前3项二项式系数的和为37.

(1)求的值. (2)这个展开式中是否有常数项?若有,将它求出,若没有,请说明理由.

16. (满分14分)(1)计算由曲线
与轴围成的封闭区域的面积S.

(2)如图,若抛物线
将(1)中的区域分成两部分,面积分别为
,且
,求的值.

17.(满分12分)

已知在△ABC中
且
,

,则
;拓展到空间,如右图,三棱锥
的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，
ABC上的射影为O.运用类比猜想,对于上述的三棱锥
存在什么类似的结论,并加以证明.

18.(满分14分)对于任意正整数,比较
与
的大小,并用数学归纳法证明你的结论.

19. (满分14分)已知抛物线
焦点为F,分别与抛物线切于点A、B的两切线
、
互相垂直，

（1）求证：A、F、B三点共线;

（2）过A、B两点的直线为
，点M在
上，若
（O为坐标原点），求点
的轨迹方程.

20．(满分14分) 设不等式组
所表示的平面区域为
，记
内的整点个数为

,（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）.

（1）求
、
；

（2）猜想
的通项公式（不需证明）；

（3）记
；
，

若
求的值.