高三理科数学考试题

（试卷总分150分，共21题，考试时间120分钟）

一：选择题：（每题5分共50分）

1．已知f（x）=x﹣sinx，命题p：?x∈（0，
），f（x）＜0，则（ ）

A．p是假命题，￢p：?x∈（0，
），f（x）≥0

B．p是假命题，￢p：?x∈（0，
），f（x）≥0

C．p是真命题，￢p：?x∈（0，
），f（x）≥0

D．p是真命题，￢p：?x∈（0，
），f（x）≥0

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=6，a1=4，则S5等于（ ）

A．﹣2 B．0 C．5 D．10

3．若正数
满足
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于
，则该双曲线的方程为（ ）

A．
﹣y2=1 B．x2﹣
=1 C．
﹣
=1 D．5x2﹣
=1

5．已知
的展开式中含
与
的项的系绝对值之比为
，则
的最小值为（ ）

A．6 B．9 C．12 D．18

6．用数学归纳法证明“
”时，由
的假设证明
时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ）

A、

B、

C、

D、

7．已知实数
若关于
的方程
有三个不同的实根，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．将函数
向右平移
个单位，再将所得的函数图象上的各点纵 坐标不变，横坐标变为原来的
倍，得到函数
的图象，则函数
与
，
，
轴围成的图形面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．（2013?杭州模拟）已知椭圆
（a＞b＞0）的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点，
且
，则该椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．若
为不等式组
表示的平面区域，则当
从－2连续变化到1时，动直线
扫过
中的那部分区域的面积为（ ）

A．1 B．
C．
D．

二：填空题（每题5分共25分）

11．设函数f（x）的定义域为D，如果?x∈D存在唯一的y∈D，使
=C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的“均值”为C，已知四个函数：

①f（x）=x3（x∈R）；

②f（x）=（
）x（x∈R）；

③f（x）=lnx（x∈（0，+∞））

④f（x）=2sinx（x∈R）

上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是 ．（填入所有满足条件函数的序号）

12．设F1，F2为双曲线
的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，当
最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是 ．

13．若
的展开式中
项的系数为20，则
的最小值为________．

14．已知复数
则｜z｜＝ ．

15．已知函数
在区间

内恰有9个零点，则实数
的值为_____

三:解答题

16．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x，a∈R．

（Ⅰ）当a=
时，求函数y=f（x）的极值；

（Ⅱ）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围．

17．设向量
=（sinx，
sinx），
=（sinx，cosx），x∈[0，
]．

（Ⅰ）若|
|=|
|，求x的值；

（Ⅱ）设函数f（x）=
，将f（x）的图象向左平移
个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的最大值及此时相应的x值．

18．（1）求证：
；

（2）已知
均为实数，且
，求证：
中至少有一个大于
.

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA，E为PD的上一点，且PE=2ED，F为PC的中点．

（Ⅰ）求证：BF∥平面AEC；

（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值．

20．设函数
（
，实数
,
是自然对数的底数,
）．

（Ⅰ）若
在
上恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若
对任意
恒成立，求证：实数
的最大值大于
．

21．如图，椭圆C：
经过点P（1，
），离心率e=
，直线l的方程为x=4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

参考答案

1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．D 7．A 8．B 9．A 10．D

11．①③ 12．（1，3] 13．
14．
15．

16．（Ⅰ）函数y=f（x）在x=1处取到极小值为
，在x=0处取到极大值为0（Ⅱ）[1﹣ln2，+∞）．

17．（Ⅰ）
（Ⅱ）x=
时，g（x）取得最大值

18．证明：（1）∵
，将此三式相加得

，∴
.

（2）（反证法）

假设
都不大于
，即
，则
，

因为
，

∴
，

即
，与
矛盾，故假设错误，原命题成立.

考点：基本不等式，反证法．

19．（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，

设B（1，0，0），则D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0）
，

（Ⅰ）设平面AEC的一个法向量为
，

∵
，
，

∴由
，

得
，

令y=﹣1，得

又
，

∴
，

，BF?平面AEC，

∴BF∥平面AEC．

（Ⅱ）

20．（Ⅰ）
；（Ⅱ）

（Ⅱ）设
，则
，

，可得
；
，可得
．

∴
在
上单调递增；在
上单调递减．

∴
，∵
，∴
，∴
．

由（Ⅰ）可得
，∴
的最小值大于
，若
对任意
恒成立，则
的最大值一定大于
．

21．（1）
（2）

（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③

代入椭圆方程
并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

x1+x2=
，
④

在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），

从而
，
，
=k﹣

注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有
=
=k

所以k1+k2=
+
=
+
﹣
（
+
）

=2k﹣
×
⑤

④代入⑤得k1+k2=2k﹣
×
=2k﹣1

又k3=k﹣
，所以k1+k2=2k3

故存在常数λ=2符合题意

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